100 bài tập hình học lớp 9 có lời giải

     

Bộ tư liệu này gồm nhị phần, các em sẽ được rèn luyện kỹ rộng phần hình học "Góc cùng với đường tròn": Góc bao gồm đỉnh sinh sống phía bên trong, đi ngoài đường tròn; cung cất góc; đọ dài con đường tròn, cung tròn; Diện tích hình tròn trụ, hình quạt. Trong bộ môn Tân oán lớp 9.




Bạn đang xem: 100 bài tập hình học lớp 9 có lời giải

*

OÂN TAÄPhường HÌNH HOÏC LÔÙP 9 100 BAØI TAÄP.. HÌNH HOÏC COÙ LÔØI GIAÛI PHAÀN 1Baøi 1: Cho ABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE caét ñöôøng troønngoaïi tieáp tam giaùc taïi nhị ñieåm M vaø N. 1. Chöùng minh:BEDC noäi tieáp. 2. Chöùng minh: goùc DEA=Ngân Hàng Á Châu ACB. 3. Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc. 4. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. 5. Chöùng toû: AM2=AE.AB. Gôïi yù: 1.C/m BEDC noäi tieáp: C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia y ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi hai A ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc x vuoâng. N 2.C/m goùc DEA=Ngân Hàng Á Châu. E D Do BECD ntDMB+DCB=2v. M O Maø DEB+AED=2v B C AED=Ngân Hàng Á Châu Hình 1 3.Goïi tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) laø ñöôøng thaúng xy (Hình 1) Ta phaûi c/m xy//DE. 1 Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= sñ cung AB. 2 1Maø sñ ACB= sñ AB. goùc xAB=Ngân Hàng Á Châu maø goùc ACB=AED(cmt) 2xAB=AED giỏi xy//DE. 4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. Do xy//DE tốt xy//MN maø OAxyOAMN.OA laø ñöôøng trung tröïc cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây)AMN caân ôû A AO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN. 5.C/m :AM2=AE.AB. Do AMN caân ôû A AM=AN cung AM=cung AN.goùc MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB chung MA AE MAE ∽ BAM   MA2=AE.AB. AB MAwww.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 1Baøi 2: Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng troøn taâm O’,ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø M veõ daây cung DE vuoânggoùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’ taïi I. 1.Töù giaùc ADBE laø hình gì? 2.C/m DMBI noäi tieáp. 3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD. 4.C/m MC.DB=XiaoMi MI.DC 5.C/m XiaoMI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) Gôïi yù: 1.Do MA=MB vaø ABDE D taïi M neân ta coù DM=ME. I ADBE laø hình bình haønh. Maø BD=BE(AB laø ñöôøng A M O B O’ C trung tröïc cuûa DE) vaäy ADBE ;laø hình thoi. 2.C/m DMBI noäi tieáp. BC laø ñöôøng kính,I(O’) neân E Goùc BID=1v.Maø goùc Hình 2 DMB=1v(gt) BID+DMB=2vñpcm. 3.C/m B;I;E thaúng haøng. Do AEBD laø hình thoi BE//AD maø ADDC (goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøngtroøn)BEDC; CMDE(gt).Do goùc BIC=1v BIDC.Qua 1 ñieåm B coù haiñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC B;I;E thaúng haøng. C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; EID vuoâng ôû IMI laø ñöôøng trungtuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI MI=MD. 4. C/m MC.DB=XiaoMi MI.DC. haõy chöùng minch MCI∽ DCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén cung MI doDMBI noäi tieáp)5.C/m XiaoMI laø tieáp tuyeán cuûa (O’) -Ta coù O’IC Caân goùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp MIB=MDB (cuøng chaéncung MB) BDE caân ôû B goùc MDB=MEB .Do MECI noäi tieáp goùcMEB=MCI (cuøng chaén cung MI)Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1vVaäy XiaoMI O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’).Baøi 3: Cho ABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho AM 1. C/m BADC noäi tieáp. 2. BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 3. C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS. Gôïi yù: 1.C/m ABCD noäi tieáp: C/m A vaø D cuøng laøm vôùi nhị ñaàu ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng.. D S 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. A M Haõy c/m AMEB noäi tieáp. O Goùc ABM=AEM( cuøng B E C chaén cung AM) Goùc ABM=ACD( Cuøng Hình 3 chaén cung MD) Goùc ACD=DME( Cuøng chaén cung MD) AEM=MED. 4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS. -Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB) -Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS) -Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD) DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS)Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA. Vaäy goùc ADB=SCAñpcm. Baøi 4: Cho ABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao để cho AM>MC.Döïngñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BMcaét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD caét (O) taïi S. 1. C/m ADCB noäi tieáp. 2. C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 3. C/m: Goùc ASM=ACD. 4. Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED. 5. C/m cha ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy. Gôïi yù: 1.C/m ADCB noäi tieáp: A Haõy chöùng minh: Goùc MDC=BDC=1v Töø ñoù suy ra A vad D S D cuøng laøm vôùi nhị ñaàu M ñoaïn thaúng BC moät goùc vuoâng… B E C 2.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.www.Vuihoc24h.vn – Kênh học hành Online Page 3 Do ABCD noäi tieáp neân ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD) Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD) Do MC laø ñöôøng kính;E(O)Goùc MEC=1vMEB=1v ABEM noäitieápGoùc MEA=ABD. Goùc MEA=MEDñpcentimet 3.C/m goùc ASM=ACD. Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD) Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc SDM=SCM(Cuøng chaén cungSM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.Vaäy Goùc A SM=ACD. 4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi 2) 5.Chöùng minc AB;ME;CD ñoàng quy. Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minc 3 ñieåm K;M;E thaúng haøng. Do CAAB(gt);BDDC(cmt) vaø AC caét BD ôû MM laø tröïc taâm cuûa tam giaùcKBCKM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KMBC.Maø MEBC(cmt) neân K;M;E thaúnghaøng ñpcentimet. Baøi 5: Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB 4/C/m MD=ME=MF. Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùcABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB MN//AC(Tính chaát ñöôøng trung bình)Do DEAC MNDE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây…)MN laø ñöôøngtrung tröïc cuûa DE ME=MD.  Goïi I laø trung ñieåm AC.MI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình)A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C).Do ADFC noäi tieáp Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) Goùc A’BC=FDC hayDF//BA’ Maø ABA’=1vMIDF.Ñöôøng kính MIdaây cung DFMI laø ñöôøngtrung tröïc cuûa DFMD=MF. Vaäy MD=ME=MF.Baøi 6: Cho ABC coù tía goùc nhoïn noäi tieáp vào ñöôøng troøn taâm O.Goïi M laø moätñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùckeû töø M ñeán BC vaø AC.Phường. laø trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE. 1/C/m MFEC noäi tieáp. 2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ. 4/C/m goùc PQM=90o. Giaûi: A M 1/C/m MFEC noäi tieáp: (Söû duïng nhì ñieåm E;F cung F laøm vôùi nhì ñaàu ñoaïn thaúng CM…) P. 2/C/m BM.EF=BA.EM C/m:EFM∽ABM: B E C Ta coù goùc ABM=ACM (Vì cuøng chaén cung AM) Hình 6 Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM).Goùc ABM=FEM.(1)Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp neân goùcFME=FCM(Cuøng chaén cung FE).Goùc AMB=FME.(2)Töø (1)vaø(2) suy ra :EFM∽ABM ñpcentimet.3/C/m AMP∽FMQ. AB AM Ta coù EFM∽ABM (theo c/m treân)  maØ AM=2AP;FE=2FQ (gt) FE MF 2 APhường. AM APhường AM    vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø EFM∽ABM) 2 FQ MF FQ FMVaäy: AMP∽FMQ.4/C/m goùc:PQM=90o.www.Vuihoc24h.vn – Kênh học hành Online Page 5 Do goùc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM goùc MQP=AFM Maø goùcAFM=1vMQP=1v(ñpcm).Baøi 7: Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC laáy ñieåm Dsao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi ñieåm thöù nhì F;Tieáptuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G. 1. C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy. 2. C/m BFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BCD. 3. C/m GEFB noäi tieáp. 4. Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F 1/C/m BGEC noäi tieáp: -Söû duïng toång hai goùc ñoái… -I laø trung ñieåm GC. A 2/C/mBFC vuoâng caân: Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén cung BF) maø goùc FBA=45o B O C (tính chaát hình vuoâng) Goùc BCF=45o. Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp F I chaén nöûa ñöôøng troøn)ñpcm. D C/m F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BDC.ta C/m F caùch ñeàu caùc ñænh B;C;D G E Hình 7 Do BFC vuoâng caân neân BC=FC.Xeùt nhị tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung;Goùc BE F=FED =45o;BE=ED(nhì caïnh cuûa hình vuoâng ABED).BFE=E FDBF=FDBF=FC=FD.ñpcm.3/C/m GE FB noäi tieáp: 1 Do BFC vuoâng caân ôû F Cung BF=FC=90o. sñgoùc GBF= Sñ cung 2 1BF= .90o=45o.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF) 2Maø goùc FED=45o(tính chaát hình vuoâng)Goùc FED=GBF=45o.ta laïi coù goùcFED+FEG=2vGoùc GBF+FEG=2v GEFB noäi tieáp.4/ C/m C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp Goùc BFG=BEG maøBEG=1vBFG=1v.Do BFG vuoâng caân ôû FGoùc BFC=1v.GoùcBFG+CFB=2vG;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân… :DoGBC=GDC=1vtaâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø FG naèn treân ñöôøng troønngoaïi tieáp BCD. Deã daøng c/m ñöôïc I F.Baøi 8:www.Vuihoc24h.vn – Kênh học hành Online Page 6Cho ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp vào (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C cuûa ñöôøng troøncaét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng tuy nhiên tuy vậy vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troønôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm treân cung nhoû BC). 1. C/m BDCO noäi tieáp. 2. C/m: DC2=DE.DF. 3. C/m:DOIC noäi tieáp. 4. Chöùng toû I laø trung ñieåm FE. A 1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång nhì F goùc ñoái) 2/C/m:DC2=DE.DF. O I Xeùt nhì tam giaùc:DEC vaø DCF coù goùc B C D chung. 1 SñgoùcECD= sñ cung EC(Goùc giöõa E 2 tieáp tuyeán vaø moät daây) 1 Sñ goùc E FC= sñ cung EC(Goùc noäi 2 tieáp)goùc ECD=DFC. D DCE ∽DFCñpcm. Hình 8 3/C/m DOIC noäi tieáp: 1Ta coù: sñgoùc BAC= sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1) 2Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát nhì tieáp tuyeán caétnhau);OD chungBOD=CODGoùc BOD=COD 12sñ goùcDOC=sñ cung BC sñgoùc DOC= sñcungBC (2) 2Töø (1)vaø (2)Goùc DOC=BAC.Do DF//ABgoùc BAC=DIC(Ñoàng vò) Goùc DOC=DIC Hai ñieåm O vaø I cuønglaøm vôùi nhị ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng nhau…ñpcm4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF:Do DOIC noäi tieáp  goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD)Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)Goùc OID=1v hay OIID OIFE.Baùnkính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EFI laø trung ñieåmEF.Baøi 9: Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(MA vaø MB),keûdaây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc MAN. 1. C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn. 2. C/m:NQ.NA=NH.NM 3. C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ.www.Vuihoc24h.vn – Kênh tiếp thu kiến thức Online Page 7 4. Haï ñoaïn thaúng MPhường vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MPhường.BN coù giaùc trò lôùn nhaát. Giaûi:Coù 2 hình veõ,caùch c/m töông töï.Sau ñaây chæ C/m treân hình 9-a.

Xem thêm: Coi Bói Tên Vợ Chồng Tương Lai Trên Facebook, Bói Bài Tarot

Hình 9a Hình 9b M PA I H B Q O N1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.(Tuyø vaøo hình veõ ñeå söû duïng moättrong caùc phöông phaùp sau:-Cuøng laøm vôùi hai ñaøu …moät goùc vuoâng. -Toång hai goùc ñoái.2/C/m: NQ.NA=NH.NM.Xeùt nhị vuoâng NQM vaø NAH ñoàng daïng.3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù nhị caùch:  Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân ôû M  Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vôùi goùc ANH) Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)ñpcm4/ xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MPhường.BN coù giaùc trò lôùn nhaát. Ta coù 2SMAN=MQ.AN 2SMBN=MP.BN. 2SMAN + 2SMBN = MQ.AN+MPhường.BN AB  MN Ta laïi coù: 2SMAN + 2SMBN =2(SMAN + SMBN)=2SAMBN=2. =AB.MN 2Vaäy: MQ.AN+MPhường.BN=AB.MNMaø AB khoâng ñoåi neân tích AB.MN lôùn nhaát MN lôùn nhaátMN laø ñöôøng kínhM laø ñieåm thiết yếu giöõa cung AB.Baøi 10: Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán chungngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö ôøng troøn taâm (I).Tieáptuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai ñöôøng troøn ôû E. 1/ Chöùng minc tam giaùc ABC vuoâng ôû A. 2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minch N;E;F;A cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn . 3/ Chöùng toû : BC2= 4 Rrwww.Vuihoc24h.vn – Kênh học hành Online Page 8 4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;rGiaûi: 1/C/m ABC vuoâng: Do BE vaø AE laø nhị tieáp tuyeán caét nhau neânAE=BE; Töông töï AE=ECAE=EB=EC= B E 1 C BC.ABC vuoâng ôû 2 N F A. 2/C/m A;E;N;F cuøng O A I naèm treân… -Theo tính chaát nhị tieáp tuyeán caét nhau thì EO laø phaân giaùc cuûa tam giaùc caân Hình 10AEBEO laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB xuất xắc OEAB tốt goùc ENA=1vTöông töï goùc EFA=2vtoång nhì goùc ñoái……4 ñieåm…3/C/m BC2=4Rr.Ta coù töù giaùc FANE coù 3 goùc vuoâng(Cmt)FANE laø hình vuoângOEI vuoâng ôûE vaø EAOI(Tính chaát tieáp tuyeán).Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoângcoù: AH2=OA.AI(Bình phöông ñöôøng cao baèng tích nhị hình chieáu) BC BC 2Maø AH= vaø OA=R;AI=r  RrBC2=Rr 2 4 OB  IC4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng SBCIO=  BC 2 (r  R) rRS= 2Baøi 11: Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao để cho OA=OB. Moätñöôøng thaúng qua A caét OB taïi M(M naèm treân ñoaïn OB).Töø B haï ñöôøng vuoâng goùcvôùi AM taïi H,caét AO keùo daøi taïi I. 1. C/m OMHI noäi tieáp. 2. Tính goùc OXiaoMi MI. 3. Töø O veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BI taïi K.C/m OK=KH 4. Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K Lúc M chũm ñoåi treân OB.Giaûi:www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 9 1/C/m OMHI noäi tieáp: Söû duïng toång hai goùc ñoái. 2/Tính goùc OXiaoMI A Do OBAI;AHAB(gt) vaø OBAH=M Neân M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABI IM laø ñöôøng cao thöù 3 IMAB goùc OIM=ABO(Goùc coù caïnh töông öùng vuoâng goùc) Maø  vuoâng OAB coù OA=OB OAB vuoâng caân ôû O goùc O M B OBA=45ogoùc OMI=45o 3/C/m OK=KH H Ta coù OHK=HOB+HBO (Goùc ngoaøi OHB) K Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc I AOB=AHB=1v) Goùc Hình 11 HOB=HAB (Cuøng chaén cung HB) vaø OBH=OAH(Cuøng chaénCuøng chaén cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o.OKH vuoâng caân ôû KOH=KH4/Taäp hôïp caùc ñieåm K…Do OKKB OKB=1v;OB khoâng ñoåi Lúc M di ñoäng K naèm treân ñöôøng troønñöôøng kính OB.Lúc M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K laø ñieåm chính giöõa cung AB.Vaäy quyõ tích ñieåm 1K laø ñöôøng troøn ñöôøng kính OB. 4Baøi 12: Cho (O) ñöôøng kính AB vaø daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi F.Treân cung BClaáy ñieåm M.Noái A vôùi M caét CD taïi E. 1. C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD. 2. C/m EFBM noäi tieáp. 3. Chöùng toû:AC2=AE.AM 4. Goïi giao ñieåm CB vôùi AM laø N;MD vôùi AB laø I.C/m NI//CD 5. Chöùng minc N laø taâm ñöôøng treøon noäi tieáp CIMGiaûi:www.Vuihoc24h.vn – Kênh tiếp thu kiến thức Online Page 10 1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD Do ABCD AB laø phaân giaùc cuûa C tam giaùc caân COD. COA=AOD. N M Caùc goùc ôû taâm AOC vaø AOD baèng nhau neân caùc cung trườn chaén baèng nhau A F O B cung AC=ADcaùc goùc noäi tieáp I chaén caùc cung naøy baèng nhau.Vaäy D CMA=AMD. 2/C/m EFBM noäi tieáp. Ta coù AMB=1v(Goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) EFB=1v(Do ABEF)AMB+EFB=2vñpcentimet.3/C/m AC2=AE.AMC/m hai ACE∽AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaøAMD=CMA cmt ACE=AMC)…4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc cung baèngnhau) xuất xắc NMI=NBIM vaø B cuøng laøm vôùi nhì ñaàu ñoaïn thaúng NI nhöõng goùcbaèng nhauMNIB noäi tieápNMB+NIM=2v. maø NMB=1v(cmt)NIB=1v hayNIAB.Maø CDAB(gt) NI//CD.5/Chöùng toû N laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ICM.Ta phaûi C/m N laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa CIM.  Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CXiaoMI  Do MNIB noäi tieáp(cmt) NIM=NBM(cuøng chaén cung MN) Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM) Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vày NIB=1v)ACNI noäi tieápCAN=CIN(cuøng chaén cung CN)CIN=NIMIN laø phaân giaùc CIMVaäy N laø taâm ñöôøng troøn…… Baøi 13: Cho (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Veõ caùc tieáp tuyeán AB;AC vaø caùttuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE. 1. C/m A;B;H;O;C cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn. 2. C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC. 3. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB 2=AI.AH. 4. BH caét (O) ôû K.C/m AE//CK.www.Vuihoc24h.vn – Kênh tiếp thu kiến thức Online Page 11 Hình 13 B E H I D O A K C1/C/m:A;B;O;C;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: H laø trung ñieåmEBOHED(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa daây …)AHO=1v. Maø OBA=OCA=1v (Tính chaát tieáp tuyeán)A;B;O;H;C cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OA.2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhauBAO=OAC vaø AB=ACcung AB=AC(hai daây baêøng nhau cuûa ñöôøng troøn ñkOA) maø BHA=BOA(Cuøngchaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC) maø cung AB=ACCOA=BOH CHA=AHBñpcentimet.3/Xeùt nhị tam giaùc ABH vaø AIB (coù A thông thường vaø CBA=BHA hai goùc noäi tieáp chaénnhì cung baèng nhau) ABH∽AIBñpcentimet.4/C/m AE//CK. 1Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= Sñ cungBC(goùc noäi tieáp) 2 1Sñ BCA= sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây) 2BHA=BKCCK//ABBaøi 14: Cho (O) ñöôøng kính AB=2R;xy laø tieáp tuyeán vôùi (O) taïi B. CD laø 1 ñöôøngkính baát kyø.Goïi giao ñieåm cuûa AC;AD vôùi xy theo thöù töï laø M;N. 1. Cmr:MCDoanh Nghiệp noäi tieáp. 2. Chöùng toû:AC.AM=AD.AN 3. Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN vaø H laø trung ñieåm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh. 4. lúc ñöôøng kính CD con quay bao phủ ñieåm O thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo?www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 12 M 1/ C/m MCDoanh Nghiệp noäi tieáp: C AOC caân ôû OOCA=CAO; goùc CAO=ANB(cuøng phuï vôùi goùc A O B AMB)goùc ACD=ANM. K Maø goùc ACD+DCM=2v D DCM+DNM=2v DCMB noäi H I tieáp. 2/C/m: AC.AM=AD.AN Haõy c/m ACD∽ANM. 3/C/m AOIH laø hình bình haønh.  Xaùc ñònh I:I laø taâm ñöôøng N troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDNI laø giao ñieåm Hình 14 döôøng trung tröïc cuûa CD vaøMNIHMN laø IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH. Vaäy caùch döïng I:Töø Odöïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD.Töø trung ñieåm H cuûa MN döïng ñöôøng vuoâng goùcvôùi MN.Hai ñöôøng naøy caùch nhau ôû I. Do H laø trung ñieåm MNAhlaø trung tuyeán cuûa vuoângAMNANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD. Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO vày ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v tuyệt AKD vuoâng ôû KAHCD maø OICDOI//AH vaäy AHIO laø hình bình haønh.4/Quyõ tích ñieåm I:Do AOIH laø hình bình haønhIH=AO=R khoâng ñoåiCD cù bao quanh O thì I naèm treân ñöôøng thaúng // vôùi xy vaø caùch xy moätkhoaûng baèng RBaøi 15: Cho tam giaùc ABC noäi tieáp vào ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm treân cung nhoûBC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûaD leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O). 1. C/m AHED noäi tieáp 2. Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi HB vaø vôùi (O) laø Phường vaø Q;ED caét (O) taïi M.C/m HA.DP=PA.DE 3. C/m:QM=AB 4. C/m DE.DG=DF.DH 5. C/m:E;F;G thaúng haøng.(ñöôøng thaúng Syên sôn)www.Vuihoc24h.vn – Kênh học hành Online Page 13 A H Q 1/C/m AHED noäi tieáp(Söû duïng nhì P O ñieåm H;E cuøng laøm haønh vôùi nhị G ñaàu ñoaïn thaúng AD…) B F C 2/C/m HA.DP=PA.DE Xeùt nhì tam giaùc vuoâng ñoàng daïng: E HAP. vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ) M D 3/C/m QM=AB: Hình 15 Do HPA∽EDPHAB=HDM 1 Maø sñHAB= sñ cung AB; 2 1 SñHDM= sñ cung QM cung 2 AM=QMAB=QM 4/C/m: DE.DG=DF.DH . Xeùt nhì tam giaùc DEH vaø DFG coù: Do EHAD noäi tieáp HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1) Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2) Vì F=G=90oDFGC noäi tieápFDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3) FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4) Nhöng FCG=BCA=HAB(5).Töø (1)(3)(5)EDH=FDG(6). Töø (2);(4) vaø BCD=BAD(cuøng chaén cungBD)EHD=FGD(7) ED DH Töø (6)vaø (7)EDH∽FDG  ñpcm. DF DG 5/C/m: E;F;G thaúng haøng: Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt)Do ABCD noäi tieápBAC+BMC=2v;vị GDEA noäi tieápEDG+EAG=2v. EDG=BDCmaø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDGEDB=CDG GFC=BEFE;F;G thaúnghaøng. Baøi 16: Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB 1/C/m ABIK noäi tieáp (töï C/m) N 2/C/m BMC=2Ngân Hàng Á Châu ACB vì ABMK vaø MA=AK(gt)BMK M caân ôû BBMA=AKB A Maø AKB=KBC+KCB K (Goùc ngoaøi tam giac KBC). B I C Do I laø trung ñieåm BC vaø KIBC(gt) Hình 16 KBC caân ôû KKBC=KCB Vaäy BMC=2ACB3/C/m BC2=2AC.KCXeùt 2  vuoâng ACB vaø ICK coù C chungACB∽ICK AC CB BC AC BC  IC=   ñpcentimet IC CK 2 BC CK 24/C/m AC=BNDo AIB=IAC+ICA(goùc ngoaøi IAC) vaø IAC Caân ôû IIAC=ICAAIB=2IAC(1). Ta laïi coù BKM=BMK vaø BKM=AIB(cuøng chaén cung AB-töù giaùcAKIB noäi tieáp)AIB=BMK(2) maø BMK=MNA+MAN(goùc ngoaøi tam giaùc MNA) Do MNAcaân ôû M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)Töø (1);(2);(3)IAC=MNA vaø MAN=IAC(ñ ñ)…5/C/m NMIC noäi tieáp:bởi MNA=ACI xuất xắc MNI=MCI nhì ñieåm N;C cuøng laøm thaønh vôùi nhị ñaàu…)  Baøi 17: Cho (O) ñöôøng kính AB coá ñònh,ñieåm C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn.Tiaphaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình chieáu cuûa M leân AC vaø AB. 1. C/m:MOBK noäi tieáp. 2. Töù giaùc CKMH laø hình vuoâng. 3. C/m H;O;K thaúng haøng. 4. Goïi giao ñieåm HKvaø CM laø I.khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng troøn thì I chaïy treân ñöôøng naøo?www.Vuihoc24h.vn – Kênh tiếp thu kiến thức Online Page 15 C 1/C/m:BOMK noäi tieáp: H Ta coù BCA=1v(goùc noäi tieáp A O B chaén nöûa ñöôøng troøn) I CM laø tia phaân giaùc cuûa goùc Phường Q K BCAACM=MCB=45o. cungAM=MB=90o. daây AM=MB coù O laø trung M ñieåm AB OMAB giỏi Hình 17 goùcBOM=BKM=1v BOMK noäi tieáp.2/C/m CHMK laø hình vuoâng:Do  vuoâng Sài Gòn coù 1 goùc baèng 45o neân CHM vuoâng caân ôû H HC=HM, töôngtöï CK=MK Do C=H=K=1v CHMK laø hình chöõ nhaät coù nhì caïnh keà baèng nhauCHMK laø hình vuoâng.3/C/m H,O,K thaúng haøng:Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;bởi vì MHCK laø hình vuoângHKMC taïi trung ñieåmI cuûa MC.Do I laø trung ñieåm MCOIMC(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moätdaây…)Vaäy HIMC;OIMC vaø KIMCH;O;I thaúng haøng.4/Do goùc OIM=1v;OM coá ñònhI naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính OM.-Giôùi haïn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vaäy Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøngtroøn (O) thì I chaïy treân cung troøn PHQ cuûa ñöôøng troøn ñöôøng kính OM.   Baøi 18: Cho hình chöõ nhaät ABCD coù chieàu daøi AB=2a,chieàu roäng BC=a.Keû tia phaân giaùc cuûa goùc ACD,töø A haï AH vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân giaùc noù i treân. 1/Chöùng minhAHDC nt vào ñöôøng troøn taâm O maø ta phaûi ñònh roõ taâm vaø baùnkính theo a. 2/HB caét AD taïi I vaø caét AC taïi M;HC caét DB taïi N.Chöùng toû HB=HC. VaøAB.AC=BH.BI 3/Chöùng toû MN tuy nhiên song vôùi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) 4/Töø D keû ñöôøng thaúng song tuy nhiên vôùi BH;ñöôøng naøy caét HC ôû K vaø caét (O) ôûJ.Chöùng minc HOKD nt.www.Vuihoc24h.vn – Kênh tiếp thu kiến thức Online Page 16 x A B M H I O J N K D CXeùt nhị HCAABI coù A=H=1v vaø ABH=ACH(cuøng chaén cung AH) HC AC HCA∽ABI   maø HB=HCñpcentimet AB BI3/Goïi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) laø Hx. DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD maøAOD caân ôûOOHAD vaø OHHx(tính chaát tieáp tuyeán) neân AD//Hx(1) Do cung AH=HD ABH=ACH=HBDHBD=ACH tuyệt MBN=Mcông nhân tuyệt 2 ñieåmB;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN nhöõng goùc baèng nhau MNgân Hàng NCB noäitieápNMC=NBC(cuøng chaén cung NC) maø DBC=DAC (cuøng chaén cung DC)NMC=DAC MN//DA(2).Töø (1)vaø (2)MN//Hx.4/C/m HOKD noäi tieáp: AD Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH= maø cung AD=BCcung 2BJ=JCH;O;J thaúng haøng töùc HJ laø ñöôøng kính HDJ= 1v .Goùc HJD=ACH(cuøng chaén2 cung baèng nhau)OJK=OCKCJ cuøng laøm vôùi nhị ñaàu ñoaïn OK nhöõng goùc baèngnhauOKCJ noäi tieáp KOC=KJC (cuøng chaén cung KC);KJC=DAC(cuøng chaéncung DC)KOC=DACOK//AD maø ADHJOKHOHDKC noäi tieáp.Baøi 19: Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB,baùn kính OCAB.Goïi M laø 1 ñieåmtreân cung BC.Keû ñöôøng cao CH cuûa tam giaùc ACM. 1. Chöùng minch AOHC noäi tieáp. 2. Chöùng toû CHM vuoâng caân vaø OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM. 3. Goïi giao ñieåm cuûa OH vôùi BC laø I.MI caét (O) taïi D.Cmr:CDBM laø hình thang caân. 4. BM caét OH taïi N.Chöùng minch BNI vaø AMC ñoàng daïng,töø ñoù suy ra: BN.MC=IN.MA. C N D 1/C/m AOHC noäi tieáp: (hoïc sinc töï chöùng I M minh) 2/C/mCHM vuoâng H caân: Do OCAB traïi trung O B A ñieåm OCung AC=CB=90o.www.Vuihoc24h.vn – Kênh học tập Online Page 17 Ta laïi coù: Hình 19 1Sñ CMA= sñcung AC=45o.CHM vuoâng caân ôû M. 2C/m OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM:Do CHM vuoâng caân ôû HCH=HM;CO=OB(baùn kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMñpcm.3/C/m:CDBM laø thang caân:Do OCM caân ôû O coù OH laø phaân giaùcOH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM maøIOHICM caân ôû IICM=IMC maø ICM=MDB(cuøng chaén cung BM)IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB caân ôû IIDB=IBD vaø MBC=MDC(cuøngchaén cungCM) neân CDB=MBDCDBM laø thang caân.4/C/m BNI vaø AMC ñoàng daïng:Do OH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM vaø NOH CN=NM.Do AMB=1vHMB=1v giỏi NMAM maø CHAMCH//NM,coù goùcCMH=45oNHM=45oMNH vuoâng caân ôû M vaäy CHMN laø hình vuoângINB=CMA=45o. Do CMBD laø thang caânCD=BM cungCD=BM maø cungAC=CBcungAD=CM…vaø CAM=CBM(cuøng chaén cung CM)INB=CMA ñpcmBaøi 20: Cho  ñeàu ABC noäi tieáp vào (O;R).Treân cnaïh AB vaø AC laáy nhị ñieåm M;N saocho BM=AN. 1. Chöùng toû OMN caân. 2. C/m :OMAN noäi tieáp. 3. BO keùo daøi caét AC taïi D vaø caét (O) ôû E.C/m BC 2+DC2=3R2. 4. Ñöôøng thaúng CE vaø AB caét nhau ôû F.Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O) caét FC taïi I;AO keùo daøi caét BC taïi J.C/m BI ñi qua trung ñieåm cuûa AJ. F 1/C/m OMN caân: Do ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong (O)AO vaø BO laø phaân giaùc cuûa ABC OAN=OBM=30o; OA=OB=R vaø BM=AN(gt)OMB=ONA OM=ON OMN caân ôû O. 2/C/m OMAN noäi tieáp: A I vị OBM=ONA(cmt)BMO=ANO maø BMO+AMO=2vANO+AMO=2v. E AMON noäi tieáp. M 3/C/m BC2+DC2=3R2. D K Do BO laø phaân giaùc cuûa ñeàu BOAC giỏi B N J BOD vuoâng ôû D.Aùp duïng heä thöùc Pitago ta C O coù: BC2=DB2+CD2=(BO+OD)2+CD2= Hình đôi mươi =BO2+2.OB.OD+OD2+CD2.(1) Maø OB=R.AOC caân ôû O coù OAC=30o.www.Vuihoc24h.vn – Kênh tiếp thu kiến thức Online Page 18 RAOC=120oAOE=60o AOE laø tam giaùc ñeàu coù ADOEOD=ED= 2Aùp duïng Pitago ta coù:OD2=OC2-CD2=R2-CD2.(2) RTöø (1)vaø (2)BC2=R2+2.R. +CD2-CD2=3R2. 24/Goïi K laø giao ñieåm cuûa BI vôùi AJ.Ta coù BCE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)coù B=60 oBFC=30o. 1BC= BF maø AB=BC=AB=AF.Do AOAI(t/c tt) vaø AJBCAI//BC coù A laø trung 2ñieåm BFI laø trung ñieåm CF. Hay FI=IC. AK BKDo AK//FI.Aùp duïng heä quaû Taleùt vào BFI coù:  AK KJ EI BI  KJ BK FI CIDo KJ//CI.Aùp duïng heä quaû Taleùt vào BIC coù:  CJ BIMaø FI=CIAK=KJ (ñpcm)  www.Vuihoc24h.vn – Kênh học hành Online Page 19

Chuyên mục: Kiến thức thú vị