Bài tập về hằng đẳng thức lớp 8

Vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài xích tập là 1 trong những trong số những câu chữ kỹ năng quan trọng đặc biệt không chỉ vào chương trình lớp 8 mà lại bọn chúng còn được áp dụng thường xuyên làm việc các lớp học tập sau đây.

Bạn đang xem: Bài tập về hằng đẳng thức lớp 8


Hiểu được điều đó, nội dung bài viết này sẽ hệ thống lại những dạng bài bác tập áp dụng 7 hằng đẳng thức kỷ niệm thuộc những ví dụ cụ thể nhằm các em hoàn toàn có thể nắm vững kỹ năng về những hằng đẳng thức, tập luyện được kỹ năng đổi thay đổi 7 hằng đẳng thức 1 cách linh hoạt trong số dạng toán.

I. Kiến thức buộc phải nhớ về 7 hằng đẳng thức

1. Bình pmùi hương của một tổng

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

* ví dụ như Bài 16 trang 11 sgk toán 8 tập 1: Viết bên dưới dạng bình pmùi hương của một tổng hoặc 1 hiệu

a) x2 + 2x + 1 = (x)2 + 2.(x).(1) + (1)2 = (x+1)2

b) 9x2 + y2 + 6xy = 9x2 + 6xy + y2 = (3x)2 + 2.(3x).(y) + (y)2 = (3x+y)2

2. Bình pmùi hương của một hiệu

(A – B)2 = A2 – 2AB + B2

* Ví dụ Bài 16 trang 11 sgk tân oán 8 tập 1: Viết dưới dạng bình phương của 1 tổng hoặc 1 hiệu

c) 25a2 + 4b2 - 20ab = 25a2 - 20ab + 4b2 = (5a)2 - 2.(5a).(2b) + (2b)2 = (5a+2b)2

d)

*
*
*

3. Hiệu hai bình phương

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

* Ví dụ: Viết dưới dạng tích biểu thức: 4x2 - 9

* Lời giải:

- Ta có: 4x2 - 9 = (2x)2 - (3)2 = (2x-3)(2x+3)

4. Lập phương của một tổng

 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

* lấy ví dụ Bài 26 trang 14 sgk toán 8 tập 1: Tính

a) (2x2+3y)3 =(2x2)3 + 3(2x2)2.(3y) + 3(2x2).(3y)2 + (3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

5. Lập phương của một hiệu

 (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

* ví dụ như Bài 26 trang 14 sgk toán thù 8 tập 1: Tính

b) 

*
*
*

6. Tổng nhì lập phương

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích x3 + 64

 x3 + 64 = x3 + 43 = (x+4)(x2-4x+42) = (x+4)(x2-4x+16)

7. Hiệu hai lập phương

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

* Ví dụ: Viết bên dưới dạng tích 8x3 - y3

 8x3 - y3 = (2x)3 - y3 = (2x-y)<(2x)2 - (2x).y + y2> = (2x-y)(4x2 + 2xy + y2)

* Crúc ý: a+b= -(-a-b) ; (a+b)2= (-a-b)2 ; (a-b)2= (b-a)2 ; (a+b)3= -(-a-b)3 ; (a-b)3=-(-a+b)3

II. Các dạng tân oán vận dụng 7 hằng đẳng thức

• Dạng 1 : Tính cực hiếm của biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức : A = x2 – 4x + 4 tại x = -1

* Lời giải.

- Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 = x2 – 2.x.2 + 22 = (x – 2)2

- Tại x = -1 : A = ((-1) – 2)2=(-3)2= 9

⇒ Kết luận: Vậy trên x = -1 thì A = 9

• Dạng 2 : Chứng minh biểu thức A ko phụ thuộc vào vào biến

 Ví dụ: Chứng minc biểu thức sau ko phụ thuộc vào x: A = (x – 1)2 + (x + 1)(3 – x)

* Lời giải.

- Ta có: A =(x – 1)2 + (x + 1)(3 – x) = x2 – 2x + 1 – x2 + 3x + 3 – x = 4 : hằng số ko dựa vào vào trở nên x.

• Dạng 3 : Tìm quý hiếm nhỏ tuyệt nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính giá trị nhỏ tuổi duy nhất của biểu thức: A = x2 – 2x + 5

* Lời giải:

- Ta có : A = x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) + 4 = (x – 1)2 + 4

- Vì (x – 1)2 ≥ 0 với đa số x.

⇒ (x – 1)2 + 4 ≥ 4 xuất xắc A ≥ 4

- Vậy cực hiếm nhỏ tuổi độc nhất vô nhị của A = 4, Dấu "=" xẩy ra khi : x – 1 = 0 giỏi x = 1

⇒ kết luận GTNN của A là: Amin = 4 ⇔ x = 1

• Dạng 4 : Tìm cực hiếm lớn nhất của biểu thức

 Ví dụ: Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 4x – x2

* Lời giải:

- Ta tất cả : A = 4x – x2 = 4 – 4 + 4x – x2 = 4 – (4 – 4x + x2) = 4 – (x2 – 4x + 4) = 4 – (x – 2)2

- Vì (x – 2)2 ≥ 0 với đa số x ⇔ -(x – 2)2 ≤ 0 với mọi x

 ⇔ 4 – (x – 2)2 ≤ 4

 ⇔ A ≤ 4 Dấu "=" xảy ra khi : x – 2 = 0 giỏi x = 2

⇒ tóm lại GTLN của A là: Amax = 4 ⇔ x = 2.

• Dạng 5 : Chứng minh đẳng thức bởi nhau

 Ví dụ: Chứng minch đẳng thức sau đúng: (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

* Lời giải:

- Đối cùng với dạng tân oán này bọn họ chuyển đổi VT = VP. hoặc VT = A cùng VP = A

- Ta có: VT = (a + b)3 – (a – b)3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3)

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3

= 6a2b + 2b3

= 2b(3a2 + b2) = VP (đpcm).

⇒ kết luận, vậy : (a + b)3 – (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

• Dạng 6 : Chứng minch bất đẳng thức

- Biến thay đổi bất đẳng thức về dạng biểu thức A ≥ 0 hoặc A ≤ 0. Sau đó dùng các phnghiền đổi khác chuyển A về 1 trong 7 hằng đẳng thức.

 lấy ví dụ như 1: Chứng minch biểu thức A nhấn quý hiếm dương với mọi quý hiếm của biến hóa, biết: A = x2 - x + 1

* Lời giải: 

- Ta có: 

*
*
*

- Vì

*
 nên 
*

ví dụ như 2: Chứng minh biểu thức B dấn quý hiếm âm với mọi cực hiếm của biến chuyển x, biết: B = (2-x)(x-4)-2 

* Lời giải: 

- Ta có: B = (2-x)(x-4) - 1 = 2x - 8 - x2 + 4x - 2 = -x2 + 6x - 9 - 1 = -(x2 - 6x + 9) - 1 = -(x-3)2 - 1

- Vì (x-3)2 ≥ 0 ⇔ -(x-3)2 ≤ 0 ⇒ -(x-3)2 - 1 ≤ -1 • Dạng 7: Phân tích đa thức thành nhân tử


 Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 – 4x + 4 – y2

* Lời giải:

- Ta tất cả : A = x2 – 4x + 4 – y2 <để ý x2 – 4x + 4 gồm dạng hằng đẳng thức>

= (x2 – 4x + 4) – y2

= (x – 2)2 – y2

= (x – 2 – y )( x – 2 + y)

⇒ A = (x – 2 – y )( x – 2 + y)

 lấy một ví dụ 2: phân tính A thành nhân tử biết: A = x3 – 4x2 + 4x

 = x(x2 – 4x + 4)

= x(x2 – 2.2x + 22)

= x(x – 2)2

 lấy ví dụ như 3: Phân tích B thành nhân tử biết: B = x 2 – 2xy – x + 2y

= (x 2– x) + (2y – 2xy)

= x(x – 1) – 2y(x – 1)

= (x – 1)(x – 2y)

 Ví dụ 4:  Phân tích C thành nhân tử biết: C = x2 – 5x + 6

= x2 – 2x – 3x + 6

= x(x – 2) – 3(x – 2)

= (x – 2)(x – 3)

• Dạng 8: Tìm quý hiếm của x

 Ví dụ: Tìm quý hiếm củ x biết: x2( x – 3) – 4x + 12 = 0

* Lời giải.

 x2 (x – 3) – 4x + 12 = 0

⇔ x2 (x – 3) – 4(x – 3) = 0

⇔ (x – 3) (x2 – 4) = 0

⇔ (x – 3)(x – 2)(x + 2) = 0

⇔ (x – 3) = 0 hoặc (x – 2) = 0 hoặc (x + 2) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = 2 hoặc x = –2

⇒ Kết luận, vậy nghiệm : x = 3; x = 2; x = –2

• Dạng 9 : Thực hiện phxay tính phân thức

 Ví dụ: Tính quý hiếm của phân thức  trên x = –1

* Lời giải:

- Ta có :

*
*

- lúc x = -1 :

*
*

⇒ tóm lại, vậy: I = 1/2 tại x = -1 .

Xem thêm: Hãy Tả Một Nhân Vật Có Ngoại Hình Khác Thường

III. các bài luyện tập vận dụng 7 hằng đẳng thức xứng đáng nhớ

Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Chứng minh rằng: (10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25

Từ kia em hãy nêu cách tính nhđộ ẩm bình phương của một vài thoải mái và tự nhiên có tận thuộc bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 252; 352; 652; 752

* Lời giải Bài 17 trang 11 SGK toán 8 tập 1: 

- Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2.10a.5 + 52 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25

- Đặt A = a(a + 1). khi đó ta có:

*
 
*
 
*

- Do vậy, để tính bình phương thơm của một trong những tự nhiên và thoải mái tất cả dạng

*
 , ta chỉ việc tính tích a.(a + 1) rồi viết 25 vào phía sau tác dụng vừa tìm kiếm được.

* Áp dụng:

 252 = 625 (Vì 2.3 = 6)

 352 = 1225 (Vì 3.4 = 12)

 652 = 4225 (Vì 6.7 = 42)

 752 = 5625 (Vì 7.8 = 56)

Bài 18 trang 11 SGK toán 8 tập 1: Hãy tìm bí quyết khiến cho bạn An phục sinh lại gần như hằng đẵng thức bị mực làm cho nhòe đi một vài chỗ:

 a) x2 + 6xy + ... = ( ... + 3y)2

 b) ... - 10xy + 25y2 = ( ... - ...)2

Hãy nêu một đề bài giống như.

* Lời giải bài bác 18 trang 11 SGK toán thù 8 tập 1: 

a) Dễ dàng nhận thấy đó là hằng đẳng thức (A+B)2 với:

 A = x ; 2.AB = 6xy ⇒ B = 3y.

- Vậy ta tất cả hằng đẳng thức: x2 + 2.x.3y + (3y)2 = (x + 3y)2 tuyệt x2 + 6xy + 9y2 = (x + 3y)2

b) Nhận thấy đấy là hằng đẳng thức (A-B)2 với:

 B2 = 25y2 = (5y)2 ⇒ B = 5y ; 2.AB = 10xy = 2.x.5y ⇒ A = x.

- Vậy ta gồm hằng đẳng thức : x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2

c) Đề bài tương tự:

 9x2 + 12xy + ... = (... + 4y2)

 ... – 4xy + y2 = ( ... – ...)2

Bài 28 trang 14 SGK tân oán 8 tập 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 trên x = 6

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 trên x = 22

* Lời giải bài xích 28 trang 14 SGK toán thù 8 tập 1:

a) x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

- Tại x = 6, giá trị biểu thức là: (6 + 4)3 = 103 = 1000.

b) x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

- Tại x = 22, giá trị biểu thức là: (22 – 2)3 = 203 = 8000.

Bài 30 trang 16 SGK toán thù 8 tập 1: Rút ít gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

* Lời giải bài bác 30 trang 16 SGK toán thù 8 tập 1:

a) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3)

 

 = (x3 + 33) – (54 + x3)

 = x3 + 27 – 54 – x3

 = –27

b) (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)

 

= (2x + y)<(2x)2 – 2x.y + y2> – (2x – y)<(2x)2 + 2x.y + y2>

= <(2x)3 + y3> – <(2x)3 – y3>

= (2x)3 + y3 – (2x)3 + y3

= 2y3

Bài 31 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1: Chứng minch rằng:

a) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a3 + b3, biết a.b = 6 và a + b = -5

* Lời giải bài bác 31 trang 16 SGK tân oán 8 tập 1:

a) Biến thay đổi vế phải ta được:

VPhường. = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – 3a2b – 3ab2

 = a3 + b3 = VT

- kết luận, vậy: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

b) Biến đổi vế đề nghị ta được:

VPhường = (a – b)3 + 3ab(a – b)

 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 + 3a2b – 3ab2

 = a3 – b3 = VT

- kết luận, vậy: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

* Áp dụng: Với ab = 6, a + b = –5, ta có: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

 = (–5)3 – 3.6.(–5) = –53 + 3.6.5 = –125 + 90 = –35

Bài 34 trang 17 SGK tân oán 8 tập 1: Rút gọn những biểu thức sau:

a) (a + b)2 – (a – b)2

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

c) (x + y + z)2 – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)2

* Lời giải bài 34 trang 17 SGK tân oán 8 tập 1:

a) (a + b)2 – (a – b)2

♦ Cách 1: <Áp dụng HĐT A2 - B2 cùng với A = a + b; B = a – b>

= <(a + b) – (a – b)>.<(a + b) + (a – b)>

= 2b.2a = 4ab

♦ Cách 2: <Áp dụng (A+B)2 và (A-B)2

= a2 + 2ab + b2 - (a2 - 2ab + b2)

= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2

= 4ab

b) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3

= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) – 2b3 

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 – 2b3

= (a3 – a3) + (3a2b + 3a2b) + (3ab2 – 3ab2) + (b3 + b3 – 2b3)

= 6a2b

c) (x + y + z)2 – 2.(x + y + z).(x + y) + (x + y)2

 <áp dụng HĐT (A-B)2 cùng với A = x + y + z ; B = x + y)>

= <(x + y + z) – (x + y)>2 = z2.

Xem thêm: Tips Để Học Tiếng Anh Lớp 5 Qua Mạng Hiệu Quả Nhất, Ioe: Hấp Dẫn

IV. Một số bài tập áp dụng 7 hàng đẳng thức luyện tập

các bài tập luyện 1: Viết các biểu thức sau bên dưới dạng bình pmùi hương của 1 tổng hay một hiệu:

a) 

*

b) 16x2 - 8x + 1

c) 4x2 +12xy +9y2

d) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1

Đ/S: a) (x+5/2)2 ; b) (4x-1)2 ; c) (2x+3y)2 ; d) (x2+9x+19)2

Những bài tập 2: Viết những biểu thức sau bên dưới dạng lập phương của một tổng hay như là một hiệu:

a) x3 + 3x2 + 3x +1

b) 27x3 - 9x2 + x - 1/27

c) 8x6 + 12x4y + 6x2y2 + y3

d) (x+y)3(x-y)3

Đ/S: a) (x+1)3 ; b) 

*
 ; c) (2x2 + y)3 ; d) (x2-y2)3

Những bài tập 3: Rút ít gọn gàng biểu thức

a) A = (2x+3)2 -2(2x+3)(2x+5) + (2x+5)2

b) B = (x2+x+1)(x2-x+1)(x2-1)

c) C = (x+y-z)2 + (x-y+z)2 - 2(y-z)2

d) D = (x+y+z)2 + (x-y-z)2 - 2(y-z)2

Đ/S: a) A=4 ; b) B=x6-1 ; c) C=2x2 ; d) D=2(x2+4yz)

các bài tập luyện 4: Điền đối kháng thức tương thích vào vệt *

a) 8x3 + * + * + 27y3 = (* + *)3

b) 8x3 + 12x2y + * + * = (* + *)3

c) x3 - * + * - * = (* - 2y)3

Đ/S: a) (2x+3y)3 ; b) (2x+y)3 ; c) (x-2y)3

Bài tập 5: chứng tỏ rằng với đa số quý giá của x ta có:

a) -x2 + 6x - 10 4 + 3x2 +3 > 0

những bài tập 6: Cho a - b = m; a.b = n. Tính theo m, n quý hiếm biểu thức sau:

 1) A= (a + b)2

 2) B= a2 + b2

 3) C= a3 - b3

Đ/S: a) A = m2+ 4n ; b) B = m2 - 2n ; c) C = m(mét vuông + 3n)

những bài tập 7: Tính quý hiếm của biểu thức bằng cách vận dụng hằng đẳng thức

a) A = x3 + 3x2 + 3x + 6 cùng với x = 29

b) B = x3 - 3x2 + 3x - 1 cùng với x = 21

Đ/S: A = 27005 ; B = 8000

bài tập 8: Chứng minc các biểu thức sau ko phụ thuộc vào x

a) (2x+3)(4x2-6x+9)-2(4x3-1)

b) (4x-1)3 - (4x-3)(16x2+3)

Hy vọng với nội dung bài viết hệ thống lại con kiến thức về các dạng bài xích tập vận dụng 7 hằng đằng thức cùng ví dụ cùng bài tập sống bên trên giúp ích cho các em. Mọi vướng mắc cùng góp ý các em vui mắt vướng lại bình luận dưới bài viết nhằm tinycollege.edu.vn ghi dìm cùng hỗ trợ, chúc các em học tập xuất sắc.


Chuyên mục: Kiến thức thú vị