Nguyên hàm là 1 trong mỗi đề chính cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện tại nhiều trong số kì ganh đua ĐH. Vậy sở hữu những công thức vẹn toàn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và lần làm rõ rộng lớn về bảng công thức vẹn toàn hàm kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên và cách thức giải bài xích tập dượt vẹn toàn hàm thịnh hành qua loa nội dung bài viết sau đây.
Bạn đang xem: bảng công thức nguyên hàm
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Nguyên hàm là gì?
Trước Khi, chuồn thâm thúy vô lần hiểu công thức về vẹn toàn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa vẹn toàn hàm cũng giống như các đặc thù và toan lý tương quan.
Định nghĩa vẹn toàn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm này hàm số F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K rất có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu vẹn toàn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý vẹn toàn hàm
3 toan lý của vẹn toàn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K. Khi bại, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 vẹn toàn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 vẹn toàn hàm của hàm số f(x) thì từng vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K đều phải sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều phải sở hữu vẹn toàn hàm.
Tính hóa học vẹn toàn hàm
3 đặc thù cơ phiên bản của vẹn toàn hàm được thể hiện tại như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số sở hữu vẹn toàn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ &\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\ &\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) sở hữu đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\ &\footnotesize\bull\text{Tích của vẹn toàn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\ &\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của vẹn toàn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx \end{aligned}
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ phiên bản, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng vẹn toàn hàm đều phải sở hữu những công thức riêng rẽ. Những công thức này và được tổ hợp trở thành những bảng sau đây nhằm những em đơn giản phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng đắn.
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bản
Bảng công thức vẹn toàn hàm há rộng
Bảng công thức vẹn toàn hàm nâng cao
Bảng vẹn toàn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài xích tập dượt vẹn toàn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi biến hóa số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều Khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em cần được nắm rõ cách thức này nhằm giải những vấn đề vẹn toàn hàm thời gian nhanh và đúng đắn rộng lớn.
Phương pháp thay đổi biến hóa loại 1:
Cho hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhì vế: dt = φ'(t)dt.
Sau bại, đổi khác biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi biến hóa loại 2: Khi đề bài xích mang lại hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và sở hữu đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhì vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện tại biến hóa đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp vẹn toàn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhì hàm số u(x) và v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết đổi khác tích phân trước tiên về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo dõi, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng tuy nhiên những em vận dụng cách thức sao mang lại tương thích.
Các dạng vẹn toàn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài tập dượt về công thức vẹn toàn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm vẹn toàn hàm của hàm số mang lại trước f(x) bên trên một khoảng chừng.
b. Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần là gì? Đưa đi ra ví dụ minh họa mang lại phương pháp tính vẫn nêu.
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên tập dượt xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D Khi Y = F(x) vừa lòng ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên D, Khi bại tao sở hữu công thức:
Xem thêm: ảnh free fire buồn tâm trạng
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính vẹn toàn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=x \\ dv=e^xdx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=e^x \end{cases} \\ & \small \text{Khi bại, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C \end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi bại, tích phân cần thiết lần là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm vẹn toàn hàm của những hàm số vẫn mang lại bên dưới đây:
\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài xích tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned}
d. Với bài xích tập dượt này, những em rất có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính vẹn toàn hàm mang lại từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn rất có thể dùng cơ hội đặt điều ẩn phụ nhằm giải lần vẹn toàn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một số trong những vẹn toàn hàm sau:
\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài xích tập:
\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số vẹn toàn a và b thỏa mãn
\begin{aligned} & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb \end{aligned}
Hãy tính tổng Phường = a + b
Hướng dẫn giải bài xích tập:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=lnx \\ dv=(2x+1)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=\frac1xdx \\ v=x^2 +x \end{cases} \\ & \small \text{Khi bại, } \\ & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx \\ & \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx \\ & \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx \\ & \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1 \\ & \small = 6ln2 - (4 - \frac32) \\ & \small = -4 + \frac32 + ln64 \\ & \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc bại. Phường = a + b = 60.} \end{aligned}
Đề ganh đua test Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là vẹn toàn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài xích tập:
Đối với dạng bài xích nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
\begin{aligned} & \small \text{Đặt n = x + 1, Khi đó: } \\ & \small K = \intop_0^3 xf(x)dx \\ & \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1) \\ & \small = \intop_3^0 F(n)dn \\ & \small =1 \\ & \small \text{Kế tiếp, tao đặt điều } \begin{cases} u=x \\ dv=f(x)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=F(x) \end{cases} \\ & \small \text{Lúc đó: } \\ & \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8 \end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education vẫn share cho tới những em lý thuyết cơ phiên bản về vẹn toàn hàm, bàng vẹn toàn hàm cơ phiên bản và không ngừng mở rộng và những công thức vẹn toàn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức vẹn toàn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và gom áp dụng bọn chúng nhằm giải bài xích tập dượt một cơ hội nhanh gọn.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kiến thức và kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài xích đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: dimensity 9000 vs snapdragon 8 gen 1
Bình luận