Bất đẳng thức Bunhiacopxki là một trong mỗi nhánh cần thiết của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bất đẳng thức này này thông thường được dùng nhiều trong những việc minh chứng bất đẳng thức nâng lên. Các em hãy ùng Marathon Education lần hiểu về công thức tính, cơ hội minh chứng và bài bác luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki qua chuyện nội dung bài viết sau đây.
Bạn đang xem: bất đẳng thức bunyakovsky
Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì?
Bất đẳng thức Bunhiacopxki mang tên gọi lúc đầu bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz tiếp sau đó rút gọn gàng lại gọi theo đòi thương hiệu của phòng toán học tập người Nga Bunhiacopxki. Bất đẳng thức này bởi 3 căn nhà toán học tập phân tích và cải cách và phát triển. Trong nghành toán học tập, bất đẳng thức này được phần mềm không hề ít nhằm giải những việc minh chứng bất đẳng thức và lần cực kỳ trị.
Công thức bất đẳng thức Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản:
\begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\ &\text{Dấu "=” xẩy ra khi }ac = bd \end{aligned}
Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng tổng quát:
Với nhị cỗ số (a1, a2,…,an) và (b1, b2,…,bn), tớ có:
\begin{aligned} &(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2).(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) ≥ (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2\\ &\text{Dấu “=” xẩy ra khi } \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} =... = \frac{a_n}{b_n}\\ \end{aligned}
Nếu một số trong những nào là ê (i = 1, 2, 3,…, n) vì chưng 0 thì đẳng thức ứng vì chưng 0.
Ngoài ra:
Hệ trái ngược của bất đẳng thức Bunhiacopxki
Hệ trái ngược 1
\small\text{Nếu }a_1x_1 +... + a_nx_n = C \text{ thì } min(x_1^2+...+x_n^2)=\frac{C}{a_1^2+...+a_n^2} \text{đạt được khi }\frac{x_1}{a_1} =... = \frac{x_n}{a_n}
Hệ trái ngược 2
\begin{aligned} &\small \text{Nếu } x_1^2 +...+ x_n^2 = C^2 \text{ (không đổi) thì:}\\ &\small \bull Max(a_1x_1+...+a_nx_n)=C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ đạt được khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\geq0.\\ &\small \bull Min(a_1x_1+...+a_nx_n)=-C.\sqrt{a_1^2+...+a_n^2} \text{ và vết "=" xẩy ra khi } a_1x_1 =... = a_nx_n\leq0.\\ \end{aligned}
Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopxki
Các em hoàn toàn có thể minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki như sau:
Ta có:
\begin{aligned} &(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq(ac+bd)^2\\ &\Leftrightarrow(ac)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 + (bd)^2 ≥ (ac)^2 + 2abcd + (bd)^2\\ &\Leftrightarrow (ad)^2 + (bc)^2 ≥ 2abcd\\ &\Leftrightarrow (ad)^2 - 2abcd + (bc)^2 ≥0\\ &\Leftrightarrow (ad - bc)^2 ≥ 0\text{ (luôn đúng)} \end{aligned}
Bài luyện bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9
Bài luyện 1: Cho những số a, b, c là những số thực dương ngẫu nhiên. Chứng minh rằng:
Xem thêm: đăng ký chính chủ sim mobifone
\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq6
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki mang lại phân thức, tớ có:
\begin{aligned} &\footnotesize \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow 1.\sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+1.\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq\sqrt{(1+1+1)\left(\frac{a + b}{a + b + c}+\frac{b + c}{a + b + c}+\frac{c + a}{a + b + c}\right)}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.\left[\frac{2(a + b+c)}{a + b + c}\right]}\\ &\footnotesize \Leftrightarrow \sqrt{\frac{a + b}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{b + c}{a + b + c}}+\sqrt{\frac{c + a}{a + b + c}}\leq \sqrt{3.2}=\sqrt6 \text{ (điều nên bệnh minh)}\\ &\footnotesize\text{Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi những độ quý hiếm a = b = c} \end{aligned}\\
Bài luyện 2: Tìm độ quý hiếm lớn số 1 (max) của biểu thức sau:
Hướng dẫn:
\begin{aligned} &\footnotesize P=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\\ &\footnotesize \text{Điều kiện: }2 ≤ x ≤ 4\\ &\footnotesize \text{Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki, tớ có:}\\ &\footnotesize (1.\sqrt{x -2} + 1.\sqrt{4 -x})^2 ≤ (1^2 + 1^2).(x - 2 + 4 - x) = 2^2 = 4\\ &\footnotesize⟹ P^2 ≤ 4\\ &\footnotesize ⟺ -2 ≤ Phường ≤ 2\\ &\footnotesize \text{P đạt độ quý hiếm rộng lớn nhất lúc }P = 2 ⟺ \frac{1}{\sqrt{x -2}} = \frac{1}{\sqrt{4 -x}} ⟺ x - 2 = 4 - x ⟺ x = 3 (TMĐK)\\ &\footnotesize \text{Vậy }P_{max} = 2 ⟺ x = 3 \end{aligned}
Bài luyện 3: Cho những số a, b, c là những số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}
Hướng dẫn:
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki.
Ta được:
\begin{aligned} &\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{(a+b+c)^2}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}\\ &\text{Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi những số a = b = c} \end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Bất đẳng thức Bunhiacopxki thông thường được vận dụng nhiều trong những bài bác luyện minh chứng bất đẳng thức và lần cực kỳ trị. Do ê, những em cần được nắm rõ định nghĩa, công thức tính, cơ hội minh chứng bất đẳng thức Bunhiacopxki và thực hiện nhiều hình thức bài bác luyện không giống nhau nhằm nâng lên tài năng giải toán của bạn dạng thân ái.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học trực tuyến online nâng lên kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài bác đánh giá và kỳ đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: code của huyền thoại hải tặc
Bình luận