Bất đẳng thức Cô si

Chuyên đề Toán lớp 9 luyện ganh đua vô lớp 10

Bất đẳng thức Cô si là một trong những dạng toán nâng lên với trong số đề ganh đua tuyển chọn sinh vô lớp 10 môn Toán. Để canh ty những em nắm rõ kiến thức và kỹ năng phần này, VnDoc gửi cho tới chúng ta tư liệu Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu bao hàm một vài kiến thức và kỹ năng lưu ý về bất đẳng thức Cauchy, kèm cặp Từ đó là những bài xích luyện cơ bạn dạng và nâng lên về bất đẳng thức Cô si, cho những em ôn luyện, sẵn sàng kĩ lưỡng cho tới kì ganh đua cần thiết sắp tới đây.

Bản quyền thuộc sở hữu VnDoc.
Nghiêm cấm từng mẫu mã sao chép nhằm mục đích mục tiêu thương nghiệp.

I. Một số kiến thức và kỹ năng lưu ý về bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

1. Phát biểu

+ Bất đẳng thức Cô si của n số thực ko âm được tuyên bố như sau: Trung bình nằm trong của n số thực ko âm luôn luôn to hơn hoặc vị tầm nhân của bọn chúng và vệt vị xẩy ra Lúc và chỉ Lúc n số cơ đều nhau.

+ Nghĩa là:

- Bất đẳng thức Cô si với 2 số thực ko âm:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b

- Bất đẳng thức Cô si với n số thực ko âm:

$\frac{{{x_1} + {x_2} + ... + {x_n}}}{n} \ge \sqrt[n]{{{x_1}{x_2}...{x_n}}}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc ${x_1} = {x_2} = ... = {x_n}$

2. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy (Cô si) với 2 số thực a và b ko âm

+ Với a = 0, b = 0 thì bất đẳng thức luôn luôn trực tiếp chính. Với a, b > 0, tớ bệnh minh:

$\frac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \end{array}$

Suy đi ra bất đẳng thức luôn luôn chính với từng a, b ko âm

3. Hệ ngược của bất đẳng thức Cauchy (Cô si)

+ Hệ ngược 1: nếu như tổng nhị số dương ko thay đổi thì tích của bọn chúng rộng lớn nhất lúc nhị số cơ vị nhau

+ Hệ ngược 2: nếu như tích nhị số dương ko thay đổi thì tổng của của nhị số này nhỏ nhất lúc nhị số cơ vị nhau

II. Bài luyện về bất đẳng thức Cô si lớp 9

Bài 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $A = x + \frac{7}{x}$ với x > 0

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho tới nhị số x > 0 và tớ có:

$x + \frac{7}{x} \ge 2\sqrt {x.\frac{7}{x}} = 2\sqrt 7$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc $x = \frac{7}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$ (do x > 0)

Vậy min $A = 2\sqrt 7 \Leftrightarrow x = \sqrt 7$

Bài 2: Cho x > 0, nó > 0 vừa lòng ĐK $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}$ . Tìm độ quý hiếm lớn số 1 của biểu thức $A = \sqrt x + \sqrt y$

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho tới nhị số x > 0, nó > 0 tớ có:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt {\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{2}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow \sqrt {xy} \ge 4$

Lại với, vận dụng bất đẳng thức Cô si cho tới nhị số x > 0, nó > 0 tớ có:

$\sqrt x + \sqrt nó \ge 2\sqrt {\sqrt {xy} } = 2\sqrt 4 = 4$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc $\left\{ \begin{array}{l} x = y\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow x = nó = 4$

Xem thêm: công chúa chibi

Vậy minA = 4 Lúc và chỉ Lúc x = nó = 4

Bài 3: Chứng minh với phụ vương số a, b, c ko âm vừa lòng a + b + c = 3 thì:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{3}{2}$

Nhận xét: Bài toán đạt được vệt vị Lúc và chi Lúc a = b = c = 1. Ta tiếp tục dùng cách thức thực hiện trội thực hiện hạn chế như sau:

Lời giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho tới phụ vương số a, b, c ko âm có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{a}{{b + c}}.\frac{{b + c}}{4}.\frac{1}{{2a}}}} = 3\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = \frac{3}{2}$

Tương tự động tớ với $\frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} \ge \frac{3}{2}$ và $\frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge \frac{3}{2}$

Cộng vế với vế tớ có:

$\frac{a}{{b + c}} + \frac{{b + c}}{4} + \frac{1}{{2a}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{{c + a}}{4} + \frac{1}{{2b}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b}}{4} + \frac{1}{{2c}} \ge 3.\frac{3}{2} = \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{2\left( {a + b + c} \right)}}{4} + \frac{{ab + bc + ca}}{{2abc}} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{2} + \frac{{a + b + c}}{2} \ge \frac{9}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{a + b}} \ge \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu “=” xẩy ra Lúc và chỉ Lúc a = b = c = 1

III. Bài luyện về bất đẳng thức Cô si

Bài 1: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của những biểu thức sau:

a, $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x}$ với x > 0

(gợi ý: chuyển đổi $B = \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 9} \right)}}{x} = \frac{{{x^2} + 13x + 36}}{x} = x + 13 + \frac{{36}}{x}$ rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

b, $C = \frac{{{{\left( {x + 10} \right)}^2}}}{x}$ với x > 0

c, $D = \frac{x}{3} + \frac{3}{{x - 2}}$ với x > 2

(gợi ý: chuyển đổi rồi vận dụng bất đẳng thức Cô si)

Bài 2: Tìm độ quý hiếm nhỏ nhất của biểu thức $P = x + \frac{1}{y} + \frac{4}{{x - y}}$ với x > nó > 0

(gợi ý: chuyển đổi $P = x - nó + \frac{4}{{x - y}} + nó + \frac{1}{y}$ )

Bài 3: Với a, b, c là những số thực ko âm, bệnh minh:

$\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9$

(gợi ý vận dụng bất đẳng thức Cô si cho tới phụ vương số a, b, c ko âm)

Bài 4: Cho phụ vương số thực dương a, b, c vừa lòng a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{{b + c}}{a} + \frac{{c + a}}{b} + \frac{{a + b}}{c} \ge 6$

(gợi ý dùng cách thức thực hiện trội)

-------------------

Trên trên đây VnDoc.com vừa vặn gửi cho tới độc giả nội dung bài viết Bất đẳng thức Cô si. Tài liệu canh ty chúng ta học viên ôn luyện những kiến thức và kỹ năng, sẵn sàng cho những bài xích ganh đua học tập kì và ôn ganh đua vô lớp 10 hiệu suất cao nhất.

Ngoài những dạng Toán 9 ôn ganh đua vô lớp 10 bên trên, chào chúng ta học viên tìm hiểu thêm những đề ganh đua học tập kì 2 lớp 9 và những tư liệu Thi vô lớp 10 bên trên VnDoc nhé. Với tư liệu này canh ty chúng ta tập luyện thêm thắt kĩ năng giải đề và thực hiện bài xích đảm bảo chất lượng rộng lớn. Chúc chúng ta ôn ganh đua tốt!

Để tiện trao thay đổi, share tay nghề về giảng dạy dỗ và học hành những môn học tập lớp 9, VnDoc chào những thầy giáo viên, những bậc bố mẹ và chúng ta học viên truy vấn group riêng biệt giành riêng cho lớp 9 sau: Nhóm Luyện ganh đua lớp 9 lên 10 . Rất mong chờ sẽ có được sự cỗ vũ của những thầy cô và chúng ta.

Xem thêm: cách chuyển video youtube sang mp3