Nguyên hàm là 1 trong mỗi chuyên mục cần thiết của Giải tích Toán 12 và thông thường xuất hiện nay nhiều trong những kì ganh đua ĐH. Vậy sở hữu những công thức vẹn toàn hàm cần thiết này cần thiết nhớ? Team Marathon Education sẽ hỗ trợ những em trả lời và dò la nắm rõ rộng lớn về bảng công thức vẹn toàn hàm kể từ cơ phiên bản cho tới nâng lên và cách thức giải bài bác luyện vẹn toàn hàm thông dụng qua quýt nội dung bài viết tiếp sau đây.
Bạn đang xem: các công thức nguyên hàm
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Hướng Dẫn Giải Bài Tập
Nguyên hàm là gì?
Trước khi, chuồn thâm thúy vô dò la hiểu công thức về vẹn toàn hàm, những em cần thiết nắm rõ định nghĩa vẹn toàn hàm cũng giống như những đặc thù và lăm le lý tương quan.
Định nghĩa vẹn toàn hàm
Cho hàm số f(x) xác lập bên trên K, thời điểm hiện tại hàm số F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số f(x) bên trên K nếu như F’(x) = f(x) (với từng x ∊ K, K hoàn toàn có thể là khoảng chừng, đoạn hoặc nửa đoạn bên trên ℝ).
Kí hiệu vẹn toàn hàm của hàm số f(x) là:
\int f(x)dx=F(x)+C \ \ \ (\forall \ C\in\R)
Định lý vẹn toàn hàm
3 lăm le lý của vẹn toàn hàm là:
- Định lý 1: Giả sử F(x) là 1 vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K. Khi cơ, với từng hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là 1 vẹn toàn hàm của f(x).
- Định lý 2: Trên K, nếu như F(x) là 1 vẹn toàn hàm của hàm số f(x) thì từng vẹn toàn hàm của f(x) bên trên K đều sở hữu dạng F(x) + C, với C là 1 hằng số tùy ý.
- Định lý 3: Trên K, toàn bộ hàm số f(x) liên tiếp đều sở hữu vẹn toàn hàm.
Tính hóa học vẹn toàn hàm
3 đặc thù cơ phiên bản của vẹn toàn hàm được thể hiện nay như sau:
\begin{aligned} &\footnotesize\bull\text{Nếu f(x) là hàm số sở hữu vẹn toàn hàm thi: }(\smallint f(x)dx)'=f(x)\ \text{và }\\ &\footnotesize\smallint f'(x)dx=f(x) +C.\\ &\footnotesize\bull\text{Nếu F(x) sở hữu đạo hàm thì }\smallint d(F(x))=F(x)+C.\\ &\footnotesize\bull\text{Tích của vẹn toàn hàm với k là hằng số không giống 0: }\smallint kf(x)dx=k\smallint f(x)dx.\\ &\footnotesize\bull\text{Tổng, hiệu của vẹn toàn hàm: }\smallint [f(x)\pm g(x)]=\smallint f(x)dx\pm \smallint g(x)dx \end{aligned}
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ phiên bản, không ngừng mở rộng và nâng cao
Mỗi dạng vẹn toàn hàm đều sở hữu những công thức riêng biệt. Những công thức này và được tổ hợp trở thành những bảng tiếp sau đây nhằm những em dễ dàng và đơn giản phân loại, ghi ghi nhớ và vận dụng đúng mực.
Bảng công thức vẹn toàn hàm cơ bản
Bảng công thức vẹn toàn hàm há rộng
Bảng công thức vẹn toàn hàm nâng cao
Bảng vẹn toàn hàm hàm con số giác
2 cách thức giải bài bác luyện vẹn toàn hàm phổ biến
Phương pháp thay đổi biến hóa số
Đây là cách thức được dùng thật nhiều khi hương nguyên hàm. Vì vậy, những em rất cần phải nắm rõ cách thức này nhằm giải những vấn đề vẹn toàn hàm thời gian nhanh và đúng mực rộng lớn.
Phương pháp thay đổi biến hóa loại 1:
Cho hàm số u = u(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K, hắn = f(u) liên tiếp nhằm f[u(x)] xác lập bên trên K và ∫f(u)du = F(u) + C thì:
∫f[u(x)]u'(x)dx = F[u(x)] + C
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn t = φ(x) và tính vi phân nhị vế: dt = φ'(t)dt.
Sau cơ, thay đổi biểu thức thành: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Kết quả: I = ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp thay đổi biến hóa loại 2: Khi đề bài bác cho tới hàm số f(x) liên tiếp bên trên K và x = φ(t) là 1 hàm số xác lập, liên tiếp bên trên K và sở hữu đạo hàm là φ'(t). Lúc này:
∫f(x)dx = ∫f[φ(t)].φ'(t)dt
Cách giải:
Đầu tiên, lựa chọn x = φ(t) và lấy vi phân nhị vế: dx = φ'(t)dt.
Thực hiện nay biến hóa đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
Tính: ∫f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp vẹn toàn hàm từng phần
Phương pháp chung
Định lý: Nếu nhị hàm số u(x) và v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên K thì:
\small \smallint u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\smallint v(x)u'(x)dx\ \text{hay} \ \smallint udv=uv-\smallint vdu\\ (\text{với }du=u'(x)dx, \ dv=v'(x)dx)
Cách giải:
Trước không còn, những em cần thiết thay đổi tích phân thứ nhất về dạng:
I=\int f(x)dx=\int f_1(x)f_2(x)dx
Tiếp theo dõi, đặt:
\begin{cases}u=f_1(x)\\dv=f_2(x)\end{cases} \implies \begin{cases}du=f'_1(x)dx\\v=\int f_2(x)dx\end{cases}
Lúc này thì những em tiếp tục có:
\smallint udv=uv-\smallint vdu
Tùy nằm trong vào cụ thể từng dạng toán rõ ràng nhưng mà những em vận dụng cách thức sao cho tới tương thích.
Các dạng vẹn toàn hàm từng phần thông thường gặp
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
>>> Xem thêm: Phương Pháp Nguyên Hàm Từng Phần Và Công Thức Tính Chi Tiết Nhất
Bài luyện về công thức vẹn toàn hàm
Bài 1 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Hãy nêu khái niệm vẹn toàn hàm của hàm số cho tới trước f(x) bên trên một khoảng chừng.
b. Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần là gì? Đưa rời khỏi ví dụ minh họa cho tới phương pháp tính vẫn nêu.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) xác lập bên trên luyện xác lập D.
Hàm số Y = F(x) được gọi là vẹn toàn hàm của hàm số hắn = f(x) bên trên D khi Y = F(x) vừa lòng ĐK F'(x) = f(x) ∀ x ∈ D.
b.
Phương pháp tính vẹn toàn hàm từng phần được khái niệm như sau:
Cho 2 hàm số u = u(x) và v = v(x) sở hữu đạo hàm liên tiếp bên trên D, khi cơ tớ sở hữu công thức:
Xem thêm: apple store thailand
∫u(x).v’(x)dx = u(x).v(x) – ∫v(x).u’(x)dx hoặc ∫udv = uv – ∫vdv
Ví dụ minh họa: Tính vẹn toàn hàm của hàm số A = ∫xexdx
Lời giải:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=x \\ dv=e^xdx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=e^x \end{cases} \\ & \small \text{Khi cơ, } A = \smallint xe^xdx = xe^x - \smallint e^xdx = xe^x - e^x + C \end{aligned}
Bài 2 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
a. Nêu khái niệm tích phân hàm số f(x) bên trên đoạn [a;b]
b. Tính hóa học của tích phân là gì? Nêu ví dụ rõ ràng.
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Xét hàm số hắn = f(x) liên tiếp bên trên [a; b], gọi F(x) là vẹn toàn hàm của f(x) bên trên [a;b]
Khi cơ, tích phân cần thiết dò la là hiệu F(b)-F(a), kí hiệu:
I = \intop_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)
b. Tính hóa học của tích phân:
\begin{aligned} &\intop^a_bf(x)dx=0\\ &\intop^b_af(x)dx=-\intop^a_bf(x)dx\\ &\intop^b_akf(x)dx=k\intop^b_af(x)dx\\ &\intop^b_a{[f(x)\pm g(x)]}dx = \intop^b_a{f(x)dx}\pm \intop^b_a{g(x)dx}\\ &\intop^b_af(x)dx=\intop^c_af(x)dx+\intop^b_cf(x)dx \end{aligned}
Bài 3 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tìm vẹn toàn hàm của những hàm số vẫn cho tới bên dưới đây:
\begin{aligned} &a. f(x)=(x-1)(1-2x)(1-3x)\\ &b. f(x)=sin(4x).cos^2(2x)\\ &c. f(x)=\frac{1}{1-x^2}\\ &d. f(x)=(e^x-1)^3 \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
a. Ta có:
(x-1)(1-2x)(1-3x) = 6x^3 - 11x^2 + 6x - 1
Suy ra
\begin{aligned} \small\int(x-1)(1-2x)(1-3x)dx&\small=\int(6x^3-11x^2+6x-1)dx\\ &\small =\frac{3}{2}x^4-\frac{11}{3}x^3+3x^2-x+C \end{aligned}
b. Ta có:
\begin{aligned} \small sin(4x).cos^2(2x)&=\frac{1}{2}sin4x.cos4x+\frac{1}{2}sin4x\\&=\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x \end{aligned}
Suy ra:
\small \int(\frac{1}{8}sin8x+\frac{1}{2}sin4x)dx=-\frac{cos8x}{32}-\frac{cos4x}{8}+C
c. Ta có:
\begin{aligned} \small f(x)&=\small \frac{1}{1-x^2}\\ &=\small \frac{1}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1+x+1-x}{(1-x)(1+x)}\\ &=\small \frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \end{aligned}
Suy ra:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\frac{1}{2}.\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}.\frac{1}{1+x} \\ &=\frac{1}{2}(ln|1+x|+ln|1-x|)+C\\ &=\frac{1}{2}ln\big|(1+x)(1-x)\big|+C\ \end{aligned}
d. Với bài bác luyện này, những em hoàn toàn có thể tuân theo cơ hội giải thường thì là khai triển hằng đẳng thức bậc 3 rồi vận dụng tính vẹn toàn hàm cho tới từng hàm nhỏ. Hoặc những em còn hoàn toàn có thể dùng cơ hội bịa đặt ẩn phụ nhằm giải dò la vẹn toàn hàm như sau:
Đặt\ t=e^x \implies dt=e^x.dx=t.dx \implies \frac{dt}{t}=dx
Ta có:
\begin{aligned} \int f(x)dx&=\int(e^x-1)^3dx\\ &=\int \frac{(t-1)^3}{t}dt\\ &=\int \left(t^2-3t+3-\frac{1}{t}\right)dt\\ &=\frac{1}{3}t^3-\frac{3}{2}t^2+3t-ln|t|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-ln|e^x|+C\\ &=\frac{1}{3}e^{3x}-\frac{3}{2}e^{2x}+3e^x-x+C'\\ &(Với\ C' = C-1) \end{aligned}
Bài 4 Trang 126 SGK Toán 12
Đề bài:
Tính một vài vẹn toàn hàm sau:
\begin{aligned} &a)\int(2-x).sinxdx\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &c) \int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &e)\int\frac{1}{\sqrt{1+x}+\sqrt{x}}dx\\ &f)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)dx} \end{aligned}
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} &\text{a) Đặt} \begin{cases}u=2-x\\dv=sinxdx\end{cases} \implies \begin{cases}du=-dx\\v=-cosx\end{cases}\\ &\text{Theo công thức tính tích phân từng phần:}\\ &\int(2-x)sinxdx\\ &=(2-x)(-cosx)-\int cosxdx\\ &=(x-2)cosx-sinx +C\\ &b) \int\frac{(x+1)^2}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x^2+2x+1}{\sqrt{x}}dx\\ &=\int (x^\frac{3}{2}+2x^\frac{1}{2}+x^\frac{-1}{2})dx\\ &=\frac{2}{5}x^\frac{5}{2}+2.\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+2.x^\frac{1}{2}+C\\ &=\sqrt{x}(\frac{2}{5}x^2+\frac{4}{3}x+2)+C\\ &c)\int\frac{e^{3x}+1}{e^x+1}dx\\ &=\int\frac{(e^x+1)(e^{2x}-e^x+1)}{e^x+1}\\ &=\int (e^{2x}-e^x+1)dx\\ &=\frac{1}{2}e^{2x}-e^x+x +C\\ &d)\int\frac{1}{(sinx+cosx)^2}dx\\ &=\int\frac{1}{[\sqrt{2}.cos(x-\frac{\pi}{4})]^2}dx\\ &=\int\frac{1}{2.cos^2(x-\frac{\pi}{4})}dx\\ &=\frac{1}{2}.tan(x-\frac{\pi}{4})+C\\ &e) \int\frac{1}{\sqrt{1+x} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int\frac{(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})(\sqrt{x+1} +\sqrt{x})}{\sqrt{x+1} +\sqrt{x}}dx\\ &=\int(\sqrt{x+1} -\sqrt{x})dx\\ &=\frac{2}{3}(x+1)^\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2} +C\\ &=\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}-\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C\\ &g)\int\frac{1}{(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x+2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\int\frac{1+x}{3(1+x)(2-x)}dx+\int\frac{2-x}{3(1+x)(2-x)}dx\\ &=\frac{1}{3}\int\frac{1}{2-x}dx+\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+x}dx\\ &=-\frac{1}{3}ln|2-x|+\frac{1}{3}ln|1+x|+C\\ &=\frac{1}{3}ln\big |\frac{1+x}{2-x}\big|+C \end{aligned}
Đề trung học phổ thông Chuyên KHTN Lần 4
Đề bài:
Cho những số vẹn toàn a và b thỏa mãn
\begin{aligned} & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx = a +\frac32 + lnb \end{aligned}
Hãy tính tổng P.. = a + b
Hướng dẫn giải bài bác tập:
\begin{aligned} & \small \text{Đặt } \begin{cases} u=lnx \\ dv=(2x+1)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=\frac1xdx \\ v=x^2 +x \end{cases} \\ & \small \text{Khi cơ, } \\ & \small \intop_2^1 (2x+1)lnxdx \\ & \small = (x^2 + x)lnx \left. \right|^2_1 - \intop_2^1 (x^2 + x).\frac1xdx \\ & \small = 6ln2 - \intop_2^1 (x + 1)dx \\ & \small = 6ln2 - \left.\left( \frac{x^2}{2} + x \right) \right|^2_1 \\ & \small = 6ln2 - (4 - \frac32) \\ & \small = -4 + \frac32 + ln64 \\ & \small \text{Vậy a = -4 và b = 64. Lúc cơ. P.. = a + b = 60.} \end{aligned}
Đề ganh đua demo Sở Giáo Dục Bình Thuận
Đề bài:
Cho hàm số F(x) là vẹn toàn hàm của hàm số f(x). Khi biết F(3) = 3, hãy tính tích phân:
Hướng dẫn giải bài bác tập:
Đối với dạng bài bác nâng lên này, những em tiếp tục phối hợp 2 cách thức là tích phân hàm ẩn (đặt ẩn phụ) và tích phân từng phần.
\begin{aligned} & \small \text{Đặt n = x + 1, khi đó: } \\ & \small K = \intop_0^3 xf(x)dx \\ & \small = \intop_{-1}^2 F(x+1)d(x+1) \\ & \small = \intop_3^0 F(n)dn \\ & \small =1 \\ & \small \text{Kế tiếp, tớ bịa đặt } \begin{cases} u=x \\ dv=f(x)dx \end{cases} \implies \begin{cases} du=dx \\ v=F(x) \end{cases} \\ & \small \text{Lúc đó: } \\ & \small K = \intop_0^1xf(x)dx = \left.xF(x)\right|_0^3 - \intop_0^3F(x)dx = 3F(3) - 1 = 8 \end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Qua nội dung bài viết bên trên, Team Marathon Education vẫn share cho tới những em lý thuyết cơ phiên bản về vẹn toàn hàm, bàng vẹn toàn hàm cơ phiên bản và không ngừng mở rộng và những công thức vẹn toàn hàm cần thiết nắm rõ. Hy vọng nội dung bài viết sẽ hỗ trợ những em ghi nhỡ những công thức vẹn toàn hàm này một cơ hội hiệu suất cao và gom áp dụng bọn chúng nhằm giải bài bác luyện một cơ hội nhanh gọn lẹ.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon sẽ được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong những bài bác đánh giá và kỳ ganh đua chuẩn bị tới!
Xem thêm: cài office cho win 11 miễn phí
.jpg)
Bình luận