Cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

     
*
*
*

1 - Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = 0 \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = 0 \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right..$

Với $A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right),X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right),O = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 0 \\ {...} \\ 0 \end{array}} \right).$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX=O.$

Hệ phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng véctơ ${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=O.$

Hạng của ma trận hệ số và hạng của ma trận hệ số mở rộng của hệ thuần nhất bằng nhau do đó nó luôn có nghiệm. Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất luôn có nghiệm ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}=0,$ nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.

Bạn đang xem: Cách giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

2 - Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình thuần nhất có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ phương trình thuần nhất n ẩn số có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn.

Hệ quả 1: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình nhỏ hơn số ẩn luôn có nghiệm không tầm thường (vô số nghiệm)

Hệ quả 2: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số bằng 0.

Xem thêm: 5 Bài Mẫu Lập Dàn Ý Cảm Nghĩ Về Đêm Trăng Trung Thu Theo Dàn Ý

Hệ quả 3: Hệ phương trình thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn chỉ có nghiệm tầm thường (nghiệm duy nhất) khi và chỉ khi định thức của ma trận hệ số khác 0.

3 - Cấu trúc tập hợp nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Tập $\ker (A) = \left\{ {X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right) \in {\mathbb{R}^n}|AX = O} \right\}$ là một không gian con của không gian véctơ ${{\mathbb{R}}^{n}}$ và được gọi là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ thuần nhất $AX=O$ hay không gian nghiệm của hệ thuần nhất.

Mỗi cơ sở của $\ker (A)$ được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất.

Số chiều của không gian nghiệm của hệ thuần nhất $\dim\left( \ker (A) \right)=n-r(A).$

Vậy $r(A)=r>>Hệ phương trình tuyến tính tổng quát và Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Đề và đáp án chi tiết của đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán lớp 12 năm học 2020 - 2021 bảng A tỉnh Nghệ An bạn đọc tải về tạiđây



Chuyên mục: Kiến thức thú vị