Cách giải phương trình bậc hai

     

Các em đã làm quen nhiều với bài toán tính diện tích hình chữ nhật khi biết chiều dài và chiều rộng. Còn bài toán, cho biết diện tích hình chữ nhật, yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng chiều dài lớn hơn chiều rộng là 5m. Ta sẽ làm thế nào?


Để giải bài toán như này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phương trình bậc 2 một ẩn là gì? qua đó giải một số ví dụ về phương trình bậc 2 một ẩn để các em dễ hiểu qua bài viết dưới đây.

Bạn đang xem: Cách giải phương trình bậc hai

1. Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

* Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn (nói gọn là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

 ax2 + bx + c = 0

Trong đó: x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

* Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc 2

 x2 + 30x - 55 = 0 là phương trình bậc hai với các hệ số a = 1; b = 30; c = -55.

 -3x2 + 7x = 0 là phương trình bậc hai với các hệ số a = -3; b = 7; c = 0.

 2x2 - 9 = 0 là phương trình bậc 2 với các hệ số a = 2; b = 0; c = -9.

2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai

* Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai: 2x2 + 5x = 0

* Lời giải:

- Ta có: 2x2 + 5x = 0 ⇔ x(2x + 5) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x = -5/2.

Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = -5/2.

* Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai: 3x2 - 2 = 0.

* Lời giải:

- Ta có: 3x2 - 2 = 0 ⇔ 3x2 = 2 ⇔ x2 = 2/3

 tức là 

*

Vậy phương trình có hai nghiệm: 

*

* Ví dụ 3: Giải phương trình bậc 2 sau: (x - 2)2 = 7/2.

* Lời giải:

- Ta có:

*
 
*

Vậy phương trình có 2 nghiệm: 

* Ví dụ 4: Giải phương trình bậc 2 sau: x2 – 4x + 4 = 7/2

* Lời giải:

- Ta có: x2 - 4x + 4 = 7/2 ⇔ (x - 2)2 = 7/2

⇔ x - 2 = ±√(7/2) ⇔ x = 2 ± √(7/2)

Vậy phương trình có hai nghiệm: 

* Ví dụ 5: Giải phương trình bậc 2 sau: x2 – 4x = -1/2.

* Lời giải:

x2 - 4x = -1/2 ⇔ x2 - 4x + 4 = -1/2 + 4 ⇔ (x - 2)2 = 7/2

⇔ x - 2 = ±√(7/2) ⇔ x = 2±√(7/2)

Vậy phương trình có hai nghiệm: 

* Ví dụ 6: Giải phương trình bậc hai: 2x2 – 8x = -1

* Lời giải:

- Ta có: 2x2 - 8x = -1 ⇔ x2 - 4x = (-1)/2

⇔ x2 - 4x + 4 = (-1)/2 + 4 ⇔ (x - 2)2=7/2

⇔ x - 2 = ±√(7/2) ⇔ x = 2 ±√(7/2)

Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 2 + √(7/2); x2 = 2 - √(7/2)

3. Bài tập vận dụng

* Bài 11 trang 42 SGK Toán 9 Tập 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c:

a) 5x2 + 2x = 4 - x

b) 

c) 2x2 + x - √3 = x.√3 + 1

d) 2x2 + m2 = 2(m - 1)x, (m là một hằng số)

* Lời giải:

a) 5x2 + 2x = 4 – x

⇔ 5x2 + 2x + x – 4 = 0

⇔ 5x2 + 3x – 4 = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 5; b = 3; c = -4.

b) 

⇔ 

*

⇔ 

*

Phương trình bậc hai trên có a = 3/5; b = -1; c = -15/2.

c) 2x2 + x - √3 = x.√3 + 1

⇔ 2x2 + x - x.√3 - √3 – 1 = 0

⇔ 2x2 + (1 - √3)x – (√3 + 1) = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = (1 - √3); c = - (√3 + 1).

Xem thêm: Cách Làm Thùng Rác Thông Minh Siêu Chất, Thùng Rác Thông Minh

d) 2x2 + m2 = 2(m – 1).x

⇔ 2x2 – 2(m – 1).x + m2 = 0

Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = -2(m – 1); c = m2.

* Bài 12 trang 42 SGK Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau:

a) x2 – 8 = 0; b) 5x2 – 20 = 0;

c) 0,4x2 + 1 = 0 d) 2x2 + √2x = 0;

e) -0,4x2 + 1,2x = 0.

* Lời giải:

a) x2 – 8 = 0 ⇔ x2 = 8

⇔ x = 2√2 hoặc x = -2√2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2√2 và x = -2√2.

b) 5x2 – 20 = 0

⇔ 5x2 = 20 ⇔ x2 = 4

⇔ x = 2 hoặc x = -2.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = -2.

c) 0,4x2 + 1 = 0

⇔ 0,4x2 = -1 ⇔ x2 = -10/4

Phương trình vô nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi x.

d) 2x2 + x√2 = 0

⇔ x√2.(x√2 + 1) = 0

⇔ x = 0 hoặc x√2 + 1 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = -1/√2

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = -1/√2.

e) -0,4x2 + 1,2x = 0

⇔ -0,4x.(x – 3) = 0

⇔ x = 0 hoặc x – 3 = 0

⇔ x = 0 hoặc x = 3

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 3.

* Bài 13 trang 43 SGK Toán 9 Tập 2: Cho các phương trình:

a) x2 + 8x = -2

b) x2 + 2x = 1/3

Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.

* Lời giải:

a) x2 + 8x = -2

⇔ x2 + 2.x.4 + 42 = -2 + 42

⇔ (x + 4)2 = 14

b) x2 + 2x = 1/3

⇔ x2 + 2x + 1 = 1/3 + 1

⇔ (x + 1)2 = 4/3.

* Bài 14 trang 43 SGK Toán 9 Tập 2: Hãy giải phương trình : 2x2 + 5x + 2 = 0 theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.

* Lời giải:

- Ta có: 2x2 + 5x + 2 = 0

⇔ 2x2 + 5x = -2 (chuyển 2 sang vế phải)

⇔ 

*
 (chia cả 2 vế cho 2)

⇔ 

*

(Tách (5/2)x thành 2.x.(5/4) và cộng thêm (5/4)2 vào 2 vế để vế trái xuất hiện thành bình phương dạng (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2).


Chuyên mục: Kiến thức thú vị