Trả lời câu hỏi trong bài 2 Định lí côsin và định lí sin

Trả điều thắc mắc vô bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin – Chân trời
============

KHỞI ĐỘNG

Bạn đang xem: định lí cosin

Làm thế nào là nhằm tính phỏng nhiều năm cạnh không biết của nhì tam giác bên dưới đây?

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hướng dẫn giải:

Hình 1 dùng ấn định lí Pytago: $BC^{2}$ = $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $3^{2}$ + $4^{2}$ $\Rightarrow$ BC = 5
Hình 2 dùng ấn định lí côsin vô tam giác: $NP^{2}$ = $MN^{2}$ + $MP^{2}$ – 2MN. MP. cosM = $4^{2}$ + $3^{2}$ – 2. 4. 3. cos$60^{\circ}$ $\Rightarrow$ NP = $\sqrt{13}$

1. ĐỊNH LÍ CÔSIN TRONG TAM GIÁC

Khám đập phá 1:

a. Cho tam giác ABC ko cần là tam giác vuông với góc A nhọn và $\widehat{C} \geq \widehat{B}$. Vẽ lối cao CD và gọi là những phỏng nhiều năm như vô Hình 1.

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hãy thay cho ? bởi vì vần âm phù hợp nhằm minh chứng công thức $a^{2} = b^{2} + c^{c} – 2bccosA$ bám theo khêu ý sau:

Xét tam giác vuông BCD, tao với $a^{2} = d^{2} + (c – d)^{2} = d^{2} + x^{2} + c^{2} – 2xc$. (1)
Xét tam giác vuông ACD, tao với $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} – x^{2}$. (2)
cosA = $\frac{?}{b}$ $\Rightarrow$ ? = bcosA. (3)

Thay (2) và (3) vô (1), tao có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccosA$.

Lưu ý: Nếu $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$ thì tao vẽ lối cao BD và minh chứng tương tự động.

b. Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự động như bên trên, minh chứng rằng tao cũng có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccosA$.

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Lưu ý: Vì A là góc tù nên cosA = $-\frac{x}{b}$.

c. Cho tam giác ABC vuông bên trên A. Hãy chứng minh công thức $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccosA$ rất có thể ghi chép là $a^{2} = b^{2} + c^{2}$.

Hướng dẫn giải:

a. cosA = $\frac{x}{b}$ $\Rightarrow$ x = bcosA.

b. Xét tam giác CDB vuông bên trên D, tao có: $a^{2} = d^{2} + (c + x)^{2}$ (4)

Xét tam giác CDA vuông bên trên D, tao có: $b^{2} = d^{2} + x^{2} \Rightarrow d^{2} = b^{2} – x^{2}$ (5)

cos$\widehat{BAC}$ = -cos$\widehat{CAD}$ = $-\frac{x}{b}$ $\Rightarrow$ x = -bcosA (6)

Thay (5), (6) vô (4), tao có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccosA$.

c. Tam giác ABC vuông bên trên A $\Rightarrow$ $\widehat{A}$ = $90^{\circ}$

Ta có: $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccosA$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccos90^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Thực hành 1: Tính những cạnh và những góc không biết của tam giác ABC vô Hình 4.

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hướng dẫn giải:

Theo ấn định lí côsin, tao có:

$BC^{2} = AB^{2} + AC{2} – 2AB. AC. cosA$ = $14^2 + 18^{2} – 2. 14. 18. cos62^{\circ}$ $\approx$ 283,39

Vậy BC $\approx$ $\sqrt{283,39} \approx$ 16,83

Vận dụng 1: Tính khoảng cách đằm thắm nhì điểm ở nhì đầu của một hồ nước nước. lõi từ 1 điểm cơ hội nhì đầu hồ nước theo lần lượt là 800 m và 900 m người xem coi nhì đặc điểm đó bên dưới một góc $70^{\circ}$ (Hình 5).

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hướng dẫn giải:

Gọi những đỉnh của tam giác như vô hình vẽ:

Ta có: $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} – 2AB. AC. cosA = 800^{2} + 900^{2} – 800. 900. cos70^{\circ}$ = 1203745,497

$\Rightarrow$ BC $\approx$ 1097,15 (m)

Vậy khoảng cách đằm thắm nhì điểm là 1097,15m.

2. ĐỊNH LÍ SIN TRONG TAM GIÁC

Khám đập phá 2:

a. Cho tam giác ABC ko cần là tam giác vuông với BC = a, AC = b, AB = c và R là nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác tê liệt. Vẽ 2 lần bán kính BD.

i. Tính sin$\widehat{BDC}$ bám theo a và R.

ii. Tìm nguyệt lão contact giưa $\widehat{BAC}$ và $\widehat{BDC}$. Từ tê liệt minh chứng rằng 2R = $\frac{a}{sinA}$

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

b. Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và đối chiếu a với 2R nhằm chứng minh tao vẫn đang còn công thức 2R = $\frac{a}{sinA}$

Hướng dẫn giải:

i. Xét tam giác BDC vuông bên trên C tao có:

sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{2R}$ = $\frac{a}{2R}$

ii. Với tam giác ABC với góc A nhọn, tao có: $\widehat{BAC}$ = $\widehat{BDC}$ (hai góc nội tiếp nằm trong chắn cung BC).

$\Rightarrow$ sin$\widehat{BAC}$ = sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{2R}$ = $\frac{a}{2R}$ $\Rightarrow$ 2R = $\frac{a}{sinA}$ (đpcm)

Với tam giác ABC với góc A tù, tao với tứ giác ACDB nội tiếp lối tròn xoe tâm O $\Leftrightarrow$ $\widehat{BAC}$ + $\widehat{BDC}$ = $180^{\circ}$

$\Rightarrow$ sin$\widehat{BAC}$ = sin$\widehat{BDC}$ = $\frac{BC}{2R}$ = $\frac{a}{2R}$ $\Rightarrow$ 2R = $\frac{a}{sinA}$ (đpcm)

b. Tam giác ABC vuông bên trên A nội tiếp lối tròn xoe tâm O phân phối kính $\frac{BC}{2}$ $\Rightarrow$ 2R = a (1)

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Ta có: sinA = sin$90^{\circ}$ = 1 (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ 2R = $\frac{a}{sinA}$

Thực hành 2: Tính những cạnh và những góc không biết của tam giác MNP vô Hình 8.

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\widehat{P}$ = $180^{\circ}$ – $34^{\circ}$ – $112^{\circ}$ = $34^{\circ}$ $\Rightarrow$ tam giác MNP cân nặng bên trên N $\Rightarrow$ MN = NP = 22

Áp dụng ấn định lí sin, tao có: $\frac{NP}{sinM}$ = $\frac{MP}{sinN}$ = $\frac{MN}{sinP}$ = 2R

Suy ra:

Xem thêm: ảnh miệng anime nam

MP = $\frac{NP.sinN}{sinM}$ = $\frac{22.sin112^{\circ}}{sin34^{\circ}}$ $\approx$ 36,5

Vận dụng 2: Trong một quần thể bảo đảm, người tao kiến tạo một tháp canh và nhì bể chứa chấp nước A, B nhằm chống hỏa thiến. Từ tháp canh, người tao phân phát hiện tại vụ cháy nổ và số liệu trả về như hình 9. Nên dẫn nước kể từ bể chứa chấp A hoặc B nhằm dập tắt vụ cháy nổ thời gian nhanh hơn?

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hướng dẫn giải:

Gọi điểm tháp canh là C, điểm cháy là D (như hình vẽ).

Ta có: $\widehat{BDC}$ = $180^{\circ}$ – $35^{\circ}$ – $125^{\circ}$ = $20^{\circ}$

Áp dụng ấn định lí sin cho tới tam giác CBD tao có:

$\frac{BD}{sin\widehat{BCD}}$ = $\frac{CB}{sin\widehat{BDC}}$ = $\frac{CD}{sin\widehat{CBD}}$ = 2R

Suy ra: BD = $\frac{CB.sin\widehat{BCD}}{sin\widehat{BDC}}$ = $\frac{900. sin35^{\circ}}{sin20^{\circ}}$ $\approx$ 1509,3 (m)

CD = $\frac{CB.sin\widehat{CBD}}{sin\widehat{BDC}}$ = $\frac{900. sin125^{\circ}}{sin20^{\circ}}$ $\approx$ 2155,5 (m)

Áp dụng định lí cosin vô tam giác ACD, tao có:

$AD^{2} = CA^{2} + CD^{2} – 2AC. CD. cos\widehat{ACD}$ = $1800^2 + 2155,5^{2} – 2. 1800. 2155,5. cos34^{\circ}$ $\approx$ 1453014,5

$\Rightarrow$ AD $\approx$ 1205,4 (m)

Nhận thấy: AD < BD nên dẫn nước kể từ bể chứa chấp A tiếp tục dập tắt vụ cháy nổ thời gian nhanh rộng lớn.

3. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Khám đập phá 3: Cho tam giác như Hình 10.

a. Viết công thức tính diện tích S S của tam giác ABC bám theo a và $h_{a}$.

b. Tính $h_{a}$ bám theo b và sinC.

c. Dùng nhì sản phẩm bên trên nhằm minh chứng công thức S = $\frac{1}{2}$ab.sinC.

d. Dùng ấn định lí sin và sản phẩm ở câu c) nhằm minh chứng công thức S = $\frac{abc}{4R}$

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

Hướng dẫn giải:

a. Xét tam giác ABC, lối cao AH:

$S_{ABC}$ = $\frac{1}{2}$. AH. BC = $\frac{1}{2}$. $h_{a}$.a (1)

b. Xét tam giác AHC vuông bên trên H, tao có:

sinC = $\frac{AH}{AC}$ = $\frac{h_{a}}{b}$ $\Rightarrow$ $h_{a}$ = b.sinC (2)

c. Thay (2) vô (1) tao được: S = $\frac{1}{2}$absinC.

d. sát dụng ấn định lí sin tao có: $\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$ = 2R

$\Rightarrow$ sinC = $\frac{c}{2R}$

$\Rightarrow$ S = $\frac{1}{2}$absinC = $\frac{1}{2}ab.\frac{c}{2R}$ $\Rightarrow$ S = $\frac{abc}{4R}$ (đpcm)

Khám đập phá 4: Cho tam giác ABC với BC = a, AC = b, AB = c và (1; r) là lối tròn xoe nội tiếp tam giác (Hình 11).

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin

a. Tính diện tích S những tam giác IBC, IAC, IAB bám theo r và a, b, c.

b. Dùng sản phẩm bên trên nhằm minh chứng công thức tính diện tích S tam giác ABC: S = $\frac{r(a+b+c)}{2}$

Hướng dẫn giải:

a. $S_{IBC}$ = $\frac{1}{2}$. r. a; $S_{IAC}$ = $\frac{1}{2}$. r. b; $S_{IAB}$ = $\frac{1}{2}$. r. c

b. $S_{ABC}$ = $S_{IBC}$ + $S_{IAC}$ + $S_{IAB}$ = $\frac{1}{2}$. r. a + $\frac{1}{2}$. r. b + $\frac{1}{2}$. r. c

$\Rightarrow$ S = $\frac{r(a+b+c)}{2}$ (đpcm)

Thực hành 3: Tính diện tích S tam giác ABC và nửa đường kính lối tròn xoe nước ngoài tiếp tam giác ABC trong những tình huống sau:

a. Các cạnh b = 14, c = 35 và $\widehat{A}$ = $60^{\circ}$

b. Cách cạnh a = 4, b = 5, c = 3.

Hướng dẫn giải:

a. S = $\frac{1}{2}$bcsinA = $\frac{1}{2}$14. 35. sin$60^{\circ}$ = $\frac{245\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng định lí cosin, tao có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} – 2bccosA$ = $14^{2} + 35^{2} – 2. 14. 35. cos60^{\circ}$ = 931

$\Rightarrow$ a = $7\sqrt{19}$

Áp dụng ấn định lí sin, tao có: R = $\frac{a}{2.sinA}$ = $\frac{7\sqrt{19}}{2.sin60^{\circ}}$ = $\frac{7\sqrt{57}}{3}$

b. Ta có: p = $\frac{1}{2}$.(4 + 5 + 3) = 6

Áp dụng công thức Heron, tao có:

S = $\sqrt{p(p – a)(p – b)(p – c)}$ = $\sqrt{6.(6 – 4).(6 – 5). (6 – 3)}$ = 6

Ta có: S = $\frac{abc}{4R}$ $\Rightarrow$ R = $\frac{abc}{4S}$ = $\frac{4.5.3}{4.6}$ = $\frac{5}{2}$

Vận dụng 3: Tính diện tích S một cánh buồm hình tam giác. lõi cánh buồm tê liệt với chiều nhiều năm cạnh là 3,2m và nhì góc kề cạnh tê liệt với số đo là $48^{\circ}$ và $105^{\circ}$ (Hình 12)

Giải bài bác 2 Định lí côsin và ấn định lí sin