đường trung trực là gì

(S): In der ebenen Geometrie ist die Mittelsenkrechte oder das Mittellot^[1] oder (österreichisch) die Streckensymmetrale^[2] diejenige Gerade durch den Mittelpunkt einer Strecke, die auf der Strecke senkrecht steht.

Die Verallgemeinerung auf drei Dimensionen ist die Mittellotebene einer Strecke.

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Anwendungen:
Mittelsenkrechten tragen oft zur Lösung von geometrischen Problemen bei, z. B.
a) bei der zeichnerischen Bestimmung des Mittelpunktes einer Strecke, um einen Thaleskreis zu konstruieren,
b) bei der Bestimmung des Umkreismittelpunktes eines Dreiecks,
c) bei der zeichnerischen Rekonstruktion des Mittelpunktes eines Kreises, wenn 3 Punkte des Kreises gegeben sind,
d) bei der Bestimmung einer Geraden oder Ebene, um durch Spiegeln an dieser einen Punkt auf einen Punkt abzubilden.
e) In Voronoi-Diagrammen spielen sie eine Rolle als Begrenzungen.

Weitere Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Definition (S) in der Einleitung sind die folgenden Definitionen (D) und (M2) äquivalent:

(D): Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Menge aller Punkte mit der Eigenschaft .

Der Beweis (siehe Bild yên ổn nächsten Abschnitt) folgt aus der Eigenschaft des Mittelpunktes und dem Satz des Pythagoras:

Die Gleichung lässt sich auch ví interpretieren: ist der Mittelpunkt eines Kreises, der durch und geht. Damit gibt es die weitere Definition:

(M2): Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Menge der Mittelpunkte aller Kreise, die durch gehen.

Im Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geht man von Punkten yên ổn 3-dimensionalen Raum aus, ví definiert man (analog zum ebenen Fall):

(D): Die Mittellotebene einer Strecke ist die Menge aller Punkte mit der Eigenschaft .

Der Nachweis der Äquivalenz zur Definition in der Einleitung verläuft analog zum ebenen Fall.

Konstruktion der Mittelsenkrechten und des Mittelpunktes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufgrund der Definition (D) der Mittelsenkrechten und der Tatsache, dass eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, genügt es, zwei Punkte zu finden mit der Eigenschaft :

Mittelsenkrechte

Man konstruiert die Mittelsenkrechte zu zwei gegebenen Punkten und , indem man um diese beiden Punkte mit einem Zirkel Kreisbögen zeichnet mit gleichem Radius, der größer als die halbe Länge der Strecke zwischen den beiden Punkten sein muss. Die zwei Schnittpunkte dieser beiden Kreislinien bestimmen die Mittelsenkrechte der Strecke .^[3]

Mittelpunkt

Da die Konstruktion der Mittelsenkrechten ohne Kenntnis des Mittelpunktes auskommt, kann man den Mittelpunkt als Schnitt der ví konstruierten Mittelsenkrechten mit der Strecke bestimmen.

Gleichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Xem thêm: leica phone 1

Sind und die Ortsvektoren der Punkte und , ví ist der Mittelpunkt von und ein Normalenvektor der Mittelsenkrechten. Eine Normalenform der Mittelsenkrechten ist dann . Ersetzen von durch und Ausmultiplizieren liefert die Gleichung der Mittelsenkrechten in Vektorform:

(V):

Mit und erhält man die Koordinatenform:

(K2):

Falls , kann man zur expliziten Form (siehe Orthogonalität und Punktsteigungsform)

(E2):

mit , und übergehen.

Die Vektordarstellung der Mittellotebene ist wörtlich gleich mit (V). Die Koordinatendarstellung ist um eine Koordinate erweitert:

(K3):

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(grün) sei die Strecke mit den Endpunkten und . Dann ist und

Setzt man diese Werte in die obige Koordinatengleichung (K2) ein, ví ergibt sich für die Geradengleichung der Mittelsenkrechten:

Im Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für und ergibt sich aus der obigen Gleichung (K3) die Koordinatengleichung der Mittellotebene

Mittelsenkrechten yên ổn Dreieck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, nämlich yên ổn Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Dieser Umkreis geht durch alle Ecken des Dreiecks (siehe dazu auch: Ausgezeichnete Punkte yên ổn Dreieck).^[4]

Im gleichschenkligen Dreieck kann die Mittelsenkrechte, für den Winkel am Scheitel der beiden gleichen Schenkel, auch die Funktion der Winkelhalbierenden erfüllen. Dies ist insbesondere dann vorteilhaft, wenn der Scheitel nicht innerhalb der Zeichenebene liegt.

Xem thêm: tôn tuyết ninh

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Symmetrale

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

• Rolf Baumann: Geometrie. Mit Übungen und Lösungen. Mentor, München 2002, Kapitel 3.1.
• Cornelia Niederdrenk-Felgner: Lambacher-Schweizer. Lehrbuch der Mathematik für die 7. Klasse (G9) an Gymnasien (Baden-Württemberg). Klett, Stuttgart 1994, ISBN 3-12-731370-5.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

1. ↑ Dieter Neßelmann: Axiomatische Geometrie. 22. Februar 2010, 5. Ergänzungen, S. 143, Definition 5.5.3 (online [PDF; 6,5 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
2. ↑ Karl Strubecker: Vorlesungen über Darstellende Geometrie. In: Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher. Band 12. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1967, II. Parallelprojektion und perspektive Affinität, S. 18 (online [PDF; 12,6 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
3. ↑ Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.3. Die Bestimmung des Mittelpunkts einer Strecke mit Zirkel und Lineal, S. 37, Abbildung 44. Konstruktion der Mittelsenkrechte der Strecke (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).
4. ↑ Stefan Friedl: Elementargeometrie. 2017, 3.5. Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks, S. 40 (online [PDF; 13,1 MB; abgerufen am 24. April 2021]).