Giải phương trình lượng giác lớp 11

Các dạng toán thù phương thơm trình lượng giác, phương pháp giải với bài tập tự cơ bản mang lại nâng cao - toán thù lớp 11

Sau khi có tác dụng quen với những hàm vị giác thì những dạng bài xích tập về phương trình lượng giác đó là ngôn từ tiếp theo sau mà các em sẽ học tập trong lịch trình toán lớp 11.

Bạn đang xem: Giải phương trình lượng giác lớp 11


Vậy pmùi hương trình lượng giác bao gồm các dạng toán làm sao, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua nội dung bài viết này, đôi khi vận dụng những cách thức giải này để triển khai các bài xích tập tự cơ phiên bản mang lại nâng cấp về phương thơm trình lượng giác.

I. Lý ttiết về Phương thơm trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° |a| > 1: Pmùi hương trình (1) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là 1 trong cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình (1) bao gồm các nghiệm là:

 x = α + k2π, ()

 với x = π - α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng điều kiện 

*
 cùng sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi kia các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, ()

 cùng x = π - arcsimãng cầu + k2π, ()

- Phương trình sinx = sinβ0 có những nghiệm là:

 x = β0 + k3600, ()

 cùng x = 1800 - β0 + k3600, ()

2. Phương trình cosx = a. (2)

° |a| > 1: Pmùi hương trình (2) vô nghiệm

° |a| ≤ 1: gọi α là một trong cung thỏa cosα = a, lúc đó pmùi hương trình (2) bao gồm những nghiệm là:

 x = ±α + k2π, ()

- Nếu α vừa lòng ĐK 0 ≤ α ≤ π với cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi kia các nghiệm của phương thơm trình (2) là:

 x = ±arccosa + k2π, ()

- Phương thơm trình cosx = cosβ0 gồm các nghiệm là:

 x = ±β0 + k3600, ()

3. Phương trình tanx = a. (3)

- Tập khẳng định, xuất xắc ĐK của phương thơm trình (3) là: 

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

- Nếu α thỏa mãn điều kiện

*

II. Các dạng tân oán về Phương thơm trình lượng giác và phương thức giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Pmùi hương pháp

- Dùng các bí quyết nghiệm tương ứng với từng pmùi hương trình.

* lấy ví dụ như 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a) b)

b)

d)

*

* Lời giải bài bác 1 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

a)  

*

 

*

b) 

*

 

*

 

*

c) 

*

 

*

 

*

 

*

d)

*
 
*

 

*

*
*
 
*

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

 a)

 b)

 c)

 d)

° Lời giải:

a) 

*

 

*
 
*
*

b) 

*

 

*
 
*
 
*

c) 

*

 

*
 
*

d) 

*

 

*
 
*

° Dạng 2: Giải một trong những phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Pmùi hương pháp

- Dùng những công thức thay đổi để đưa về pmùi hương trình lượng giác đã đến về pmùi hương trình cơ bạn dạng nlỗi Dạng 1.

* ví dụ như 1: Giải các phương thơm trình sau:

a) 

*

b) 

*

c) 

*

d) 

*

° Lời giải:

a)

*
 
*

 

*
*
 
*

+ Với 

*
 
*
 hoặc 
*

+ Với

*
 
*
 hoặc 
*

b) 

*
 
*

 

*
 
*

c)

*
 
*

 

*
 

 

*

 

*

 

*

d)

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*

* Lưu ý: Bài tân oán trên áp dụng công thức:

 

*
*

 

*
*

* lấy ví dụ như 2: Giải các phương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

 

*
*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

b)

 

*
 
*

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*
 với 
*

* Lưu ý: Bài tân oán vận dụng bí quyết thay đổi tích thành tổng:

 

*

 

*

 

*

* lấy một ví dụ 3: Giải những pmùi hương trình sau:

a)1 + 2cosx + cos2x = 0

b)cosx + cos2x + cos3x = 0

c)sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0

d)sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a)

*

 

*
 
*

 

*
 
*

b)

*

 

*
 
*

 

*
*
 
*

c)

*

 

*

 

*

 

*

  hoặc 

*

  hoặc 

*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*
 với 
*

d)

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán trên gồm vận dụng công thức biến đổi tổng các kết quả cùng cách làm nhân đôi:

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*

 

*
 
*

° Dạng 3: Pmùi hương trình bậc nhất tất cả một hàm số lượng giác

* Phương pháp

- Đưa về dạng phương trình cơ phiên bản, ví dụ: 

* lấy một ví dụ 1: Giải các pmùi hương trình sau:

a) 

b) 

° Lời giải:

a)  

 

*
 
*

+ Với 

*

+ Với 

*

b)

 

*

 

*

 

*

 

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
 
*
*

+ Với 

*
: vô nghiệm.

° Dạng 4: Pmùi hương trình bậc nhì bao gồm một hàm con số giác

* Pmùi hương pháp

♦ Đặt ẩn prúc t, rồi giải pmùi hương trình bậc hai đối với t, ví dụ:

 + Giải phương thơm trình: asin2x + bsinx + c = 0;

 + Đặt t=sinx (-1≤t≤1), ta bao gồm phương thơm trình at2 + bt + c = 0.

* Lưu ý: Lúc đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải tất cả điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a) 

b) 

° Lời giải:

a) 

- Đặt 

*
 ta có: 2t2 - 3t + 1 = 0

 ⇔ t = 1 hoặc t = một nửa.

+ Với t = 1: sinx = 1 

*

+ Với t=1/2: 

*
 

 

*
 hoặc 
*

b) 

 

*

*

+ Đặt 

*
 ta có: -4t2 + 4t + 3 = 0

 ⇔ t = 3/2 hoặc t = -50%.

Xem thêm: Toán Lớp 3 Trang 60 - Bài 1, 2, 3, 4 Trang 60 Sgk Toán 3

+ t = 3/2 >1 nên loại

*
*
 
*

* Crúc ý: Đối với phương thơm trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp điệu nlỗi sau:

 - Ta có: cosx = 0 chưa hẳn là nghiệm của phương trình do a≠0,

 Chia 2 vế mang lại cos2x, ta có:atan2x + btanx + c = 0 (được PT bậc 2 với tanx)

 - Nếu pmùi hương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = d thì ta cố gắng d = d.sin2x + d.cos2x, cùng rút gọn đưa về dạng trên.

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Pmùi hương pháp

◊ Cách 1: Chia nhị vế phương trình cho , ta được:

 

 - Nếu  thì phương trình vô nghiệm

 - Nếu  thì đặt 

 (hoặc )

- Đưa PT về dạng:  (hoặc ).

 ◊ Cách 2: Sử dụng bí quyết sinx với cosx theo ;

 

 - Đưa PT về dạng pmùi hương trình bậc 2 đối với t.

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) bao gồm nghiệm Lúc c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là:asin + bcos = c, (a≠0,b≠0).

* Ví dụ: Giải các pmùi hương trình sau:

a) 

b)

° Lời giải:

a) 

+ Ta có: 

*
 Lúc đó:

  

*

+ Đặt 

*
 ta có: cosφ.sinx + sinφ.cosx = 1.

 

*
 
*
 
*

b) 

 

*
 
*

 

*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

 

*
 

 

*

° Dạng 6: Pmùi hương trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

Xem thêm: Những Phim Khoa Học Viễn Tưởng Hay Nhất 2015, 10 Phim Khoa Học Viễn Tưởng Ấn Tượng Nhất

* Phương thơm pháp

- Đặt t = sinx + cosx, Lúc đó:  cố kỉnh vào phương trình ta được:

 bt2 + 2at + 2c - b = 0 (*)

- Lưu ý: 

*
 đề nghị ĐK của t là: 

- Do đó sau khoản thời gian tìm kiếm được nghiệm của PT (*) buộc phải kiểm tra (đối chiếu) lại ĐK của t.

- Pmùi hương trình dạng: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 không hẳn là PT dạng đối xứng dẫu vậy cũng hoàn toàn có thể giải bằng cách tương tự:

 Đặt t = sinx - cosx;  

*

* Ví dụ: Giải các pmùi hương trình sau:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

° Lời giải:

a) 2(sinx + cosx) - 4sinx.cosx - 1 = 0

+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó:   cố vào phương trình ta được:

 

*
 ⇔ 2t2 - 2t - 1 = 0

  hoặc 

+ Với  

*

 

*
 
*

 

*

+ Tương từ, với 

*

 b) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0

 

*

 

*

Đặt t = sinx + cosx, , Lúc đó:   nuốm vào phương thơm trình ta được:

 

*
 
*
 
*

+ Với t=1 

*

 

*
*

 

*
 hoặc 
*

*
 hoặc 
*

+ Với 

*
: loại

III. các bài tập luyện về các dạng toán Phương thơm trình lượng giác

Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với các cực hiếm làm sao của x thì quý hiếm của những hàm số y = sin 3x với y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: 

*

 

*
 
*

 

*

- Vậy với 

*
thì 
*

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải những pmùi hương trình sau:

 a) 

 b) 

*

 c) 

 d) 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số cùng Giải tích 11:

a) 

 

*
 
*

- Kết luận: PT gồm nghiệm

*

b) cos3x = cos12º

⇔ 3x = ±12º + k.360º , k ∈ Z

⇔ x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

- Kết luận: PT gồm nghiệm x = ±4º + k.120º , k ∈ Z

c) 

 

*
 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

d) 

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

 

*
 hoặc 
*

Bài 4 (trang 29 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải phương thơm trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Điều kiện: sin2x≠1

- Ta có:  

*

 

*
 
*

 

*

+ Đến trên đây ta đề xuất so sánh với điều kiện:

- Xét k lẻ tức là: k = 2n + 1

 

*

*
(thỏa điều kiện)

- Xét k chẵn tức là: k = 2n

*

*
 (không thỏa ĐK)

- Kết luận: Vậy PT có chúng ta nghiệm là 

*

Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải pmùi hương trình: sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

- Ta có: sin2x – sinx = 0

 

*

 

*
 
*

 

*
 hoặc 
*

- Kết luận: PT có tập nghiệm 

*

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11): Giải những phương trình sau:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0

b) 2sin2x +

*
.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số với Giải tích 11:

a) 2cos2x – 3cosx + 1 = 0 (1)

- Đặt t = cosx, điều kiện: –1 ≤ t ≤ 1, lúc ấy PT (1) trlàm việc thành: 2t2 – 3t + 1 = 0


Chuyên mục: Kiến thức thú vị