Giới hạn (toán học)

Bách khoa toàn thư phanh Wikipedia

Đây là nội dung bài viết rằng công cộng về định nghĩa giới hạn nhập Toán học tập. Với những phần mềm rõ ràng, hãy coi những trang giới hạn mặt hàng số và giới hạn hàm số.

Trong toán học tập, định nghĩa giới hạn được dùng nhằm chỉ độ quý hiếm nhưng mà một hàm số hoặc một mặt hàng số tiến bộ ngay gần cho tới Lúc biến đổi số ứng tiến bộ ngay gần cho tới một độ quý hiếm này cơ. Trong một không khí không thiếu, định nghĩa giới hạn được cho phép tao xác lập một điểm mới mẻ từ là một mặt hàng Cauchy những điểm đang được xác lập trước. Giới hạn là định nghĩa cần thiết của Giải tích và được dùng nhằm khái niệm về tính chất liên tiếp, đạo hàm và luật lệ tính tích phân.

Khái niệm giới hạn mặt hàng số được tổng quát mắng hóa trở nên giới hạn của một lưới topo, và contact nghiêm ngặt với những định nghĩa giới hạn và giới hạn thẳng nhập lý thuyết phạm trù.

Người tao ký hiệu giới hạn bằng văn bản lim (viết tắt chữ giờ đồng hồ Anh limit). Ví dụ nhằm chỉ a là giới hạn của mặt hàng số (a_n) tao ghi chép lim(a_n) = a hoặc a_n → a.

Giới hạn của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chính: Giới hạn hàm số

Với từng x > S, f(x) ở trong tầm ε (L - ε, L + ε)

Giả sử f(x) là 1 hàm số độ quý hiếm thực và c là một trong những thực. Biểu thức

có tức là f(x) tiếp tục càng ngay gần L nếu như x đầy đủ ngay gần c. Trong tình huống này, tao rằng giới hạn của f(x), Lúc x đạt cho tới c là L. Cần để ý rằng điều này cũng giống cả Lúc f(c) ≠ L na ná Lúc hàm số f(x) ko xác lập bên trên c. Ví dụ, xét hàm số

thì f(1) ko xác lập tuy nhiên Lúc x tiến bộ cho tới 1 thì f(x) tiến bộ cho tới 2:

f(0,9)	f(0,99)	f(0,999)	f(1,0)	f(1,001)	f(1,01)	f(1,1)
1,900	1,990	1,999	không xác định	2,001	2,010	2,100

Như vậy, f(x) rất có thể ngay gần 2 một cơ hội tùy ý, chỉ việc mang đến x đầy đủ ngay gần 1.

Karl Weierstrass vẫn mẫu mã hóa khái niệm giới hạn hàm số vì chưng cách thức (ε, δ) nhập thế kỉ 19.

Ngoài tình huống hàm số f(x) với giới hạn bên trên một điểm hữu hạn, hàm số f(x) còn rất có thể với giới hạn bên trên vô rất rất. Ví dụ, xét hàm số

f(100) = 1,9900
f(1000) = 1,9990
f(10000) = 1,9999

Khi x trở thành vô nằm trong rộng lớn thì độ quý hiếm của f(x) tiến bộ dần dần cho tới 2, và độ quý hiếm của f(x) rất có thể ngay gần 2 một cơ hội tùy ý, chỉ việc mang đến x đầy đủ rộng lớn. Ta rằng "giới hạn của hàm số f(x) bên trên vô rất rất vì chưng 2" và viết

Giới hạn của mặt hàng số[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chính: Giới hạn mặt hàng số

Xét mặt hàng số sau: 1,79, 1,799, 1,7999,... Ta rất có thể nhận ra rằng mặt hàng số này "tiến dần" cho tới 1,8, này đó là giới hạn của mặt hàng.

Một cơ hội mẫu mã, fake sử x₁, x₂,... là 1 mặt hàng những số thực. Ta gọi số thực L là giới hạn của mặt hàng và viết:

nếu

Với từng số thực ε > 0, tồn bên trên số ngẫu nhiên n₀ sao mang đến với từng n > n₀, |x_n − L| < ε.

Về mặt mày trực quan, điều này Tức là toàn bộ những số hạng sau một trong những hạng này cơ của mặt hàng đều tiếp tục ngay gần với giới hạn "L" một cơ hội tùy ý, chính vì độ quý hiếm vô cùng |x_n − L| là khoảng cách thân thuộc x_n và L. Không cần mặt hàng số này cũng có thể có giới hạn; nếu như một mặt hàng với giới hạn thì tao gọi mặt hàng này đó là hội tụ, còn ngược lại, tao rằng mặt hàng cơ phân kì. Người tao vẫn chứng tỏ được rằng một mặt hàng số quy tụ chỉ tồn tại một giới hạn độc nhất.

Giới hạn của mặt hàng số và giới hạn của hàm số với quan hệ quan trọng. Một mặt mày, giới hạn của mặt hàng số thực tế là giới hạn của một hàm số với biến đổi số là số ngẫu nhiên. Mặt không giống, giới hạn của một hàm số f bên trên x, nếu như tồn bên trên, đó là giới hạn của mặt hàng số x_n = f(x + 1/n).

Cách giải[sửa | sửa mã nguồn]

Dạng so với giới hạn bên trên một điểm

Ví dụ 1:

Bước 1: Ta thế 4 nhập phương trình f(x) thì sẽ tiến hành dạng nên xác minh đấy là dạng .

Bước 2: Biến đổi:

Xem thêm: hình nền blackpink đẹp

<=> <=>

Lúc này tao tiếp tục thế 4 nhập sẽ tiến hành

Ví dụ 2:

Lúc này tao đổi khác nó bằng phương pháp nhân lượng phối hợp cho tất cả tử và mẫu:

= = =

Ta phân chia cả tử và khuôn mẫu mang đến x, tao được:

Thế 0 nhập tao được

Dạng so với giới hạn vô cực: Ta phân chia mang đến số nón lớn số 1 của tử và khuôn mẫu.

Ví dụ 1: Dạng vẫn biến đổi đổi

Lúc này tao thấy số nón lớn số 1 của tử và khuôn mẫu là x², bởi vậy tao tiếp tục phân chia cả tử và khuôn mẫu mang đến x²

= = 2

Ví dụ 2: Dạng ko biến đổi đổi

= = =

Lưu ý: Dạng ko cần chỉ vận dụng với dạng phân thức nhưng mà cho dù là nhiều thức. VD:

Dạng : Ta tiếp tục nhân lượng liên hợp

Ví dụ:

= = = = =

Ví dụ:

= = = 0

Khả năng tính toán[sửa | sửa mã nguồn]

Các giới hạn rất có thể khó tính khó nết toán. Có một trong những biểu thức giới hạn nhưng mà mô-đun quy tụ của chính nó là loại ko thể đưa ra quyết định được. Trong lí thuyết đệ quy, vấp ngã đề giới hạn chứng tỏ rằng trọn vẹn rất có thể biên mã những yếu tố ko đưa ra quyết định được bằng phương pháp dùng những giới hạn.^[1]

Xem thêm: ảnh miệng anime nam