tam giác đồng dạng

By Admin 09/09/2023 0

Ähnliche Figuren

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung (auch diese Abbildung wird häufig als Ähnlichkeit bezeichnet) ineinander überführt werden können. Das heißt, es gibt eine geometrische Abbildung, die sich aus zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen (also Verschiebungen, Drehungen, Spiegelungen) zusammensetzen lässt und die eine Figur auf die andere abbildet. Ähnlichkeit erweitert somit die Kongruenz (Deckungsgleichheit) von Figuren um die Möglichkeit der Streckung.

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In der Tabelle sind die ersten drei Kongruenz-Abbildungen. Man beachte, dass eine Spiegelung Orientierungen umkehrt. Nur zentrische Streckungen ändern Längen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle gleichfarbigen Figuren in dieser Abbildung sind zueinander ähnlich. Beachte: Zwei der Dreiecke haben keine Ähnlichkeit zu den anderen Figuren.

Winkel und Streckenverhältnisse stimmen in ähnlichen Figuren überein; somit sind alle Kreise sowie jeweils alle regelmäßigen Vielecke gleicher Eckenzahl, wie gleichseitige Dreiecke oder Quadrate, zueinander ähnlich.

Es gilt, dass kongruente Figuren stets ähnlich sind. Das Umgekehrte ist hingegen falsch: Ähnliche Figuren sind nicht notwendigerweise kongruent, domain authority sie verschieden groß sein können.

Als mathematisches Zeichen für geometrische Ähnlichkeit wird (die Tilde) verwendet, z.B: bedeutet, dass die Dreiecke und ähnlich sind. Will man dagegen Kongruenz ausdrücken, sánh kann stattdessen oder (eine „Mischung“ mit dem Gleichheitszeichen) verwendet werden.

Ähnlichkeit bei Dreiecken[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dreiecke spielen hier eine zentrale Rolle, domain authority sich sehr viele Figuren auf solche zurückführen lassen. Es gilt:

Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn

  • sie in zwei (und somit in allen drei) Winkeln übereinstimmen; oder
  • sie in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen; oder
  • sie in einem Winkel und yên tĩnh Verhältnis der anliegenden Seiten übereinstimmen; oder
  • sie yên tĩnh Verhältnis zweier Seiten und yên tĩnh Gegenwinkel der größeren Seite übereinstimmen.

Diese Sätze werden Ähnlichkeitssätze genannt.

Ähnlichkeit bei den Strahlensätzen

Strahlensätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Strahlensätze machen über die Verhältnisse der Dreiecksseiten bestimmter ähnlicher Dreiecke wichtige Aussagen.

Ähnliche Kegelschnitte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zwei nicht ausgeartete Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) sind ähnlich, wenn sie dieselbe Exzentrizität besitzen.

Die Ähnlichkeit aller Parabeln (ihre Exzentrizität ist 1) wird in dem Artikel Parabeln gezeigt.

Eine Ellipse/Hyperbel mit Halbachsen besitzt die Exzentrizität Eine Streckung um den Faktor am Mittelpunkt ändert die Exzentrizität nicht.

Selbstähnlichkeit logarithmischer Spiralen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiele für und

Die logarithmische Spirale kann man einerseits als Bild der Spirale unter der Streckung am Nullpunkt mit dem Faktor , aber auch als Bild von unter der Rotation um den Winkel auffassen.

Eine Kurve, deren Bilder unter zentrischen Streckungen zu ihr selbst kongruent sind, nennt man selbstähnlich. Also:

  • Die Spirale ist selbstähnlich.

Im Bild: Die Spiralen für können auch durch Drehung der roten Spirale um erhalten werden.

Zusammengesetzte ähnliche Figuren (Reptiles)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnliche Figuren, die sich lückenlos zu einer größeren Figur, die zu den kleineren Figuren ähnlich ist, zusammensetzen lassen, werden yên tĩnh Englischen als Reptiles (Abkürzung für replicating tiles) bezeichnet.

Ist die Anzahl der ähnlichen Teilfiguren, sánh wird die zusammengesetzte Figur rep--Figur genannt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden sei .

  • Figur 1

    Figur 1

  • Figur 2

    Figur 2

  • Figur 3

    Figur 3

  • Figur 4

    Xem thêm: ảnh dơ tay

    Figur 4

  • Figur 5

    Figur 5

  • Figur 6

    Figur 6

  • Figur 7

    Figur 7

  • Figur 8

    Figur 8

  • Figur 9

    Figur 9

  • Figur 10

    Figur 10

  • Figur 11

    Figur 11

  • Figur 12

    Figur 12

Ähnlichkeit in der fraktalen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausschnitt aus der Mandelbrot-Menge

Skaleninvariante Ähnlichkeit in gebrochenen, „fraktalen“ Dimensionen ist Gegenstand der fraktalen Geometrie.

Die Ähnlichkeit ist dabei das Ergebnis der Rekursion nichtlinearer Algorithmen. Ein bekanntes Beispiel ist die Mandelbrot-Menge, deren Grenzlinie an jeder Stelle Ähnlichkeit mit den angrenzenden Abschnitten in allen Größenordnungen aufweist.

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Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - trăng tròn geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin Heidelberg năm ngoái, ISBN 978-3-662-45460-2, Seiten 51 bis 54
  2. ↑ George E. Martin: Polyominoes: A Guide vĩ đại Puzzles and Problems in Tiling, AMS/MAA, Washington 1991