Tích phân hàm hữu tỉ

Bài viết khuyên bảo pmùi hương pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ, đây là dạng tích phân được bắt gặp liên tục trong lịch trình Giải tích 12 chương 3 (nguim hàm – tích phân cùng ứng dụng).

Bạn đang xem: Tích phân hàm hữu tỉ

1. Phương thơm pháp tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉBài tân oán tổng quát: Tính tích phân $I = int_alpha ^eta fracP(x)Q(x) dx$ cùng với $P(x)$ với $Q(x)$ là các đa thức.

Trường hợp 1: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $Dạng 1: $int_alpha ^eta fracAax + b dx$ $ = fracAaleft. ax + b ight ight|_altrộn ^eta $ $ = fracAaln left| fracaeta + baalpha + b ight|.$

Dạng 2: $I = int_altrộn ^eta fracAax^2 + bx + c $, dựa vào biệt thức $Delta = b^2 – 4ac$ của chủng loại số, ta phân thành các trường hợp:+ Nếu $Delta > 0$, ta có: $I = int_altrộn ^eta fracAaleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight) dx$ $ = fracAaleft( x_2 – x_1 ight)int_a^eta left( frac1x – x_2 – frac1x – x_1 ight) $.+ Nếu $Delta = 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracAdxaleft( x – x_0 ight)^2 $ $ = – left. fracAaleft( x – x_0 ight) ight|_alpha ^eta .$+ Nếu $Delta Dạng 3: $I = int_altrộn ^eta fracAx + Bax^2 + bx + c dx$, dựa vào biệt thức $Delta = b^2 – 4ac$ của mẫu số, ta chia thành những trường hợp:+ Nếu $Delta > 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracCleft( x – x_1 ight) + Dleft( x – x_2 ight)aleft( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight) dx$ $ = frac1aint_altrộn ^eta left( fracCx – x_2 + fracDx – x_1 ight) dx$.+ Nếu $Delta = 0$, ta có: $I = int_alpha ^eta fracAx + Baleft( x – x_0 ight)^2 dx$ $ = frac1aint_a^eta fracAleft( x – x_0 ight) + Caleft( x – x_0 ight)^2 dx$ $ = frac1aint_altrộn ^eta left( fracAx – x_0 + fracCleft( x – x_0 ight)^2 ight) dx$.+ Nếu $Delta Dạng 4: Nếu $Q(x)$ bao gồm bậc lớn hơn $2$, ta tiến hành giảm bậc bằng phương pháp đổi trở nên, bóc ghnghiền, nhân, phân chia … để đưa bài xích toán về các dạng 1, dạng 2, dạng 3.

Xem thêm: Buộc Tóc Đuôi Ngựa Phồng Gáy Archives, Cách Buộc Tóc Đuôi Ngựa Bồng Bềnh

Trường hòa hợp 2: Nếu bậc của tử số $P(x)$ $≥$ bậc của chủng loại số $Q(x)$, ta áp dụng phnghiền phân chia đa thức: $I = int_alpha ^eta fracP(x)Q(x) $ $ = int_altrộn ^eta left< H(x) + fracR(x)Q(x) ight> dx$ $ = int_altrộn ^eta H (x)dx + int_altrộn ^eta fracR(x)Q(x) dx$ $ = I_1 + I_2$, trong những số ấy $I_1$ là tích phân cơ bạn dạng, $I_2$ là tích phân hàm số phân thức hữu tỉ gồm bậc tử số nhỏ tuổi hơn bậc chủng loại số.

Xem thêm: Xăm Chữ Ý Nghĩa Cho Nam Nữ, Hình Xăm Chữ Ý Nghĩa Dành Cho Nam

Chú ý: Đối với đa số bài bác tân oán tinh vi, để lấy về các dạng 1, 2, 3 ta đề nghị tiến hành đổi khác phân số ban sơ thành tổng các phân số với search những hệ số bằng phương thức đồng hóa thức. Một số ngôi trường vừa lòng hay gặp:• $frac1(ax + b)(cx + d)$ $ = frac1ad – bcleft( fracaax + b – fracccx + d ight).$• $fracmx + n(ax + b)(cx + d)$ $ = fracAax + b + fracBcx + d.$• $fracmx + n(ax + b)^2$ $ = fracAax + b + fracB(ax + b)^2.$• $fracmx + n(ax + b)^2(cx + d)$ $ = fracA(ax + b)^2 + fracBcx + d + fracCax + b.$• $frac1(x – m)left( ax^2 + bx + c ight)$ $ = fracAx – m + fracBx + Cax^2 + bx + c$, với $Delta = b^2 – 4ac • $frac1(x – a)^2(x – b)^2$ $ = fracAx – a + fracB(x – a)^2$ $ + fracCx – b + fracD(x – b)^2.$• $fracP(x)left( x – x_o ight)^n$ $ = fracAx – x_o + fracBleft( x – x_o ight)^2$ $ + ldots + fracCleft( x – x_o ight)^n.$• $fracP(x)left( x – x_1 ight)left( x – x_2 ight)left( x – x_3 ight)…$ $ = fracAx – x_1 + fracBx – x_2$ $ + fracCx – x_3 + cdots .$

2. Một số bài xích toán thù minh họaBài toán thù 1: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_1^2 fracx^32x + 3 dx.$b) $I = int_sqrt 5 ^3 fracx^2 – 5x + 1 dx.$c) $int_0^frac12 fracx^3x^2 – 1 dx.$

a) Ta có: $fracx^32x + 3$ $ = frac12 cdot fracleft( 2x^3 + 3x^2 ight) – frac32left( 2x^2 + 3x ight) + frac94(2x + 3) – frac2742x + 3$ $ = fracx^22 – frac34x + frac98 – frac278(2x + 3).$Suy ra: $int_1^2 fracx^32x + 3 dx$ $ = int_1^2 left( fracx^22 – frac34x + frac98 – frac278(2x + 3) ight) dx$ $ = left. left( ight) ight|_1^2$ $ = – frac136 – frac2716ln 35.$b) Ta có: $fracx^2 – 5x + 1$ $ = fracx^2 – 1 – 4x + 1$ $ = x – 1 – frac4x + 1.$Suy ra: $int_sqrt 5 ^3 fracx^2 – 5x + 1 dx$ $ = int_sqrt 5 ^3 left( x – 1 – frac4x + 1 ight) dx$ $ = left. left( ight) ight|_sqrt 5 ^3$ $ = sqrt 5 – 1 + 4ln left( fracsqrt 5 + 14 ight).$c) Ta có: $fracx^3x^2 – 1$ $ = fracxleft( x^2 – 1 ight) + xx^2 – 1$ $ = x + fracxx^2 – 1.$Suy ra: $int_0^frac12 fracx^3x^2 – 1 dx$ $ = int_0^frac12 left( x + fracxx^2 – 1 ight) dx$ $ = int_1^frac12 x dx + int_0^frac12 fracxdxx^2 – 1 $ $ = left. fracx^22 ight|_0^frac12 + frac12ln left. left ight|_0^frac12$ $ = frac18 + frac12ln frac34.$

Bài toán thù 2: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ: $I = int_0^1 frac4x + 11x^2 + 5x + 6 dx.$

Cách 1: (Pmùi hương pháp đồng nhất thức)Ta có: $f(x) = frac4x + 11x^2 + 5x + 6$ $ = frac4x + 11(x + 2)(x + 3)$ $ = fracAx + 2 + fracBx + 3$ $ = fracA(x + 3) + B(x + 2)(x + 2)(x + 3).$Thay $x = – 2$ vào nhị tử số: $3 = A$ cùng chũm $x = -3$ vào nhì tử số: $-1 = -B$ suy ra $B = 1.$Do đó: $f(x) = frac3x + 2 + frac1x + 3.$Vậy: $int_0^1 frac4x + 11x^2 + 5x + 6 dx$ $ = int_0^1 left( frac3x + 2 + frac1x + 3 ight) dx$ $ = 3ln |x + 2| + ln left. ight|_0^1$ $ = 2ln 3 – ln 2.$Cách 2: (Nhảy tầng lầu)Ta có: $f(x) = frac2(2x + 5) + 1x^2 + 5x + 6$ $ = 2.frac2x + 5x^2 + 5x + 6$ $ + frac1(x + 2)(x + 3)$ $ = 2.frac2x + 5x^2 + 5x + 6$ $ + frac1x + 2 – frac1x + 3.$Suy ra: $I = int_0^1 f (x)dx$ $ = int_0^1 left( 2.frac2x + 5x^2 + 5x + 6 + frac1x + 2 – frac1x + 3 ight) dx$ $ = left. left( + ln left ight) ight|_0^1$ $ = 2ln 3 – ln 2.$

Bài tân oán 3: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_0^3 fracx^3x^2 + 2x + 1 dx.$b) $I = int_0^1 frac4x4x^2 – 4x + 1 dx.$

a)Cách 1: Thực hiện nay bí quyết phân tách đa thức $x^3$ đến nhiều thức $x^2 + 2x + 1$, ta được:$fracx^3x^2 + 2x + 1$ $ = x – 2 + frac3x + 2x^2 + 2x + 1.$$I = int_0^3 fracx^3x^2 + 2x + 1 dx$ $ = int_0^3 (x – 2) dx$ $ + int_0^3 frac3x + 3 – 1x^2 + 2x + 1 dx$ $ = left. left( fracx^22 – 2x ight) ight|_0^3$ $ + frac32int_0^3 fracdleft( x^2 + 2x + 1 ight)x^2 + 2x + 1 $ $ – int_0^3 fracdx(x + 1)^2 $ $ = – frac32 + frac32ln left. (x + 1)^2 ight|_0^3$ $ + left. frac1x + 1 ight|_0^3$ $ = – frac32 + frac32ln 16 + frac14 – 1$ $ = – frac94 + 6ln 2.$Cách 2: Ta có: $int_0^3 fracx^3x^2 + 2x + 1 dx$ $ = int_0^3 fracx^3(x + 1)^2 dx.$Đặt $t = x + 1$, suy ra: $dx = dt$, $x = t – 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = 1\x = 3 Rightarrow t = 4endarray ight.$Do đó: $int_0^3 fracx^3(x + 1)^2 dx$ $ = int_1^4 frac(t – 1)^3t^2 dt$ $ = int_1^4 left( t – 3 + frac3t – frac1t^2 ight) dt$ $ = left. left( + frac1t ight) ight|_1^4$ $ = – frac94 + 6ln 2.$b) Ta có: $frac4x4x^2 – 4x + 1$ $ = frac4x(2x – 1)^2.$Đặt $t = 2x – 1$ suy ra: $dt = 2dx$ $ khổng lồ dx = frac12dt.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = – 1\x = 1 Rightarrow t = 1endarray ight.$Do đó: $int_0^1 frac4x4x^2 – 4x + 1 dx$ $ = int_0^1 frac4x(2x – 1)^2 dx$ $ = int_ – 1^1 frac4.frac12(t + 1)t^2 frac12dt$ $ = int_ – 1^1 left( frac1t + frac1t^2 ight) dt$ $ = left. left( – frac1t ight) ight|_ – 1^1$ $ = – 2.$Bài toán thù 4: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_0^2 fracxx^2 + 4x + 5 dx.$b) $I = int_0^2 fracx^3 + 2x^2 + 4x + 9x^2 + 4 dx.$

a) Ta có: $int_0^2 fracxx^2 + 4x + 5 dx$ $ = int_0^2 fracx(x + 2)^2 + 1 dx.$Đặt $x + 2 = ung t$, suy ra: $dx = frac1cos ^2tdt$.Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow an t = 2\x = 2 Rightarrow an t = 4endarray ight.$Do đó: $int_0^2 fracx(x + 2)^2 + 1 dx$ $ = int_t_1^t_2 frac ã t – 21 + chảy ^2t fracdtcos ^2t$ $ = int_t_1^t_2 left( fracsin tcos t – 2 ight) dt$ $ = left. – 2t) ight|_t_1^t_2.$Từ $ an t = 2$ $ Rightarrow 1 + ã ^2t = 5$ $ Leftrightarrow cos ^2t = frac15$ $ Rightarrow cos t_1 = frac1sqrt 5 $ và $ ung t = 4$ $ Rightarrow 1 + ã ^2t = 17$ $ Leftrightarrow cos ^2t = frac117$ $ Rightarrow cos t_2 = frac1sqrt 17 .$Vậy $left. – 2t) ight|_t_1^t_2$ $ = 2(arcchảy 4 – arctan 2) – frac12ln frac517.$b) Ta có: $fracx^3 + 2x^2 + 4x + 9x^2 + 4$ $ = fracx^3 + 4x + 2x^2 + 8 + 1x^2 + 4$ $ = x + 2 + frac1x^2 + 4.$Do đó: $int_0^2 fracx^3 + 2x^2 + 4x + 9x^2 + 4 dx$ $ = int_0^2 left( x + 2 + frac1x^2 + 4 ight) dx$ $ = left. left( frac12x^2 + 2x ight) ight|_0^2$ $ + int_0^2 fracdxx^2 + 4 $ $ = 6 + J.$Tính tích phân: $J = int_0^2 frac1x^2 + 4 dx.$Đặt $x = 2 an t$ suy ra: $dx = frac2cos ^2tdt.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = 0\x = 2 Rightarrow t = fracpi 4endarray ight.$Ta có: $t in left< 0;fracpi 4 ight>$ $ khổng lồ cos t > 0.$Khi đó: $J = int_0^2 frac1x^2 + 4 dx$ $ = frac14int_0^fracpi 4 frac11 + ung ^2t frac2cos ^2tdt$ $ = frac12int_0^fracpi 4 d t$ $ = frac12left. t ight|_0^fracpi 4 = fracpi 8.$Vậy $I = 6 + fracpi 8.$

Bài toán 5: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_0^1 fracx(x + 1)^3 dx.$b) $I = int_ – 1^0 fracx^4(x – 1)^3 dx.$

a)Cách 1:Đặt $x + 1 = t$, suy ra: $x = t – 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 0 Rightarrow t = 1\x = 1 Rightarrow t = 2endarray ight.$Do đó: $int_0^1 fracx(x + 1)^3 dx$ $ = int_1^2 fract – 1t^3 dt$ $ = int_1^2 left( frac1t^2 – frac1t^3 ight) dt$ $ = left. left( – frac1t + frac12frac1t^2 ight) ight|_1^2$ $ = frac18.$Cách 2:Ta có: $fracx(x + 1)^3$ $ = frac(x + 1) – 1(x + 1)^3$ $ = frac1(x + 1)^2 – frac1(x + 1)^3.$Do đó: $int_0^1 fracx(x + 1)^3 dx$ $ = int_0^1 left< frac1(x + 1)^2 – frac1(x + 1)^3 ight> dx$ $ = left. left< – frac1x + 1 + frac12frac1(x + 1)^2 ight> ight|_0^1$ $ = frac18.$b) Đặt $x – 1 = t$, suy ra: $x = t + 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = – 1 Rightarrow t = – 2\x = 0 Rightarrow t = – 1endarray ight.$Do đó: $int_ – 1^0 fracx^4(x – 1)^3 dx$ $ = int_ – 2^ – 1 frac(t + 1)^4t^3 dt$ $ = int_ – 2^ – 1 fract^4 + 4t^3 + 6t^2 + 4t + 1t^3 dt$ $ = int_ – 2^ – 1 left( t + 4 + frac6t + frac4t^2 + frac1t^3 ight) dt$ $ = left. left( – frac4t – frac12frac1t^2 ight) ight|_ – 2^1$ $ = frac338 – 6ln 2.$

Bài toán 6: Tính các tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_2^3 frac1(x – 1)(x + 1)^3 dx.$b) $I = int_2^3 fracx^2(x – 1)^2(x + 2) dx.$

a)Cách 1: (Phương thơm pháp đồng nhất thức)Ta có: $frac1(x – 1)(x + 1)^2$ $ = fracAx – 1 + fracB(x + 1) + fracC(x + 1)^2$ $ = fracA(x + 1)^2 + B(x – 1)(x + 1) + C(x – 1)(x – 1)(x + 1)^2$ $(1).$Tgiỏi hai nghiệm mẫu mã số vào hai tử số: $left{ eginarray*20l1 = 4A\1 = – 2Cendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lA = frac14\C = – frac12endarray ight.$$(1) Leftrightarrow frac(A + B)x^2 + (2A + C)x + A – B – C(x – 1)(x + 1)^2$ $ Rightarrow A – B – C = 1$ $ Leftrightarrow B = A – C – 1$ $ = frac14 + frac12 – 1 = – frac14.$Do đó: $int_2^3 frac1(x – 1)(x + 1)^2 dx$ $ = int_2^3 left( frac14frac1x – 1 + frac14frac1(x + 1) – frac12frac1(x + 1)^2 ight) dx$ $ = left. left< frac14ln (x – 1)(x + 1) + frac12 cdot frac1(x + 1) ight> ight|_2^3$ $ = frac14ln 8 = frac34ln 2.$Cách 2: (Phương pháp thay đổi biến)Đặt: $t = x + 1$, suy ra $x = t – 1.$Đổi cận: $left{ eginarray*20lx = 2 Rightarrow t = 3\x = 3 Rightarrow t = 4endarray ight.$Khi đó: $I = int_2^3 frac1(x – 1)(x + 1)^2 dx$ $ = int_3^4 fracdtt^2(t – 2) $ $ = frac12int_3^4 fract – (t – 2)t^2(t – 2) dt$ $ = frac12left( int_2^4 frac1t(t – 2) dt – int_3^4 frac1t dt ight)$ $ Leftrightarrow I = frac12left( frac12int_2^4 left( frac1t – 2 – frac1t ight) dt – int_3^4 frac1t dt ight)$ $ = left. left( – frac12ln ight) ight|_3^4$ $ = frac34ln 2.$b) Đặt $t = x – 1$, suy ra $x = t + 1$, $dx = dt.$Đổi cận $left{ eginarray*20lx = 2 Rightarrow t = 1\x = 3 Rightarrow t = 2endarray ight.$Do đó: $int_2^3 fracx^2(x – 1)^2(x + 2) dx$ $ = int_1^2 frac(t + 1)^2t^2(t + 3) dt$ $ = int_1^2 fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3) dt.$Cách 1: (Phương thơm pháp đồng hóa thức)Ta có: $fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3)$ $ = fracAt + Bt^2 + fracCt + 3$ $ = frac(At + B)(t + 3) + Ct^2t^2(t + 3)$ $ = frac(A + C)t^2 + (3A + B)t + 3Bt^2(t + 3).$Đồng nhất thông số hai tử số: $left{ eginarray*20lA + C = 1\3A + B = 2\3B = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20cB = frac13\A = frac59\C = frac49endarray ight.$ $ Rightarrow fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3)$ $ = frac19fract + 3t^2 + frac49frac1t + 3.$Do đó: $int_1^2 fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3) dt$ $ = int_1^2 left( frac19left( frac1t + frac3t^2 ight) + frac49left( frac1t + 3 ight) ight) dt$ $ = left. left( frac19left( – frac3t ight) + frac49ln ight) ight|_1^2$ $ = frac176 + frac49ln 5 – frac79ln 2.$Cách 2:Ta có: $fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3)$ $ = frac13left( frac3t^2 + 6t + 3t^3 + 3t^2 ight)$ $ = frac13left< frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 + frac3t^2(t + 3) ight>$ $ = frac13left< left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight) + frac19left( fract^2 – left( t^2 – 9 ight)t^2(t + 3) ight) ight>$ $ = frac13left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight)$ $ + frac19frac1t + 3 – frac19fract – 3t^2$ $ = frac13left< left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight) + frac19frac1t + 3 – frac19left( frac1t – frac3t^2 ight) ight>.$Vậy: $int_1^2 fract^2 + 2t + 1t^2(t + 3) dt$ $ = int_1^2 left( frac13left( frac3t^2 + 6tt^3 + 3t^2 ight) + frac19left( frac1t + 3 – frac1t + frac3t^2 ight) ight) dt$ $left. = left< t^3 + 3t^2 ight ight> ight|_1^2.$Do đó: $I = frac176 + frac49ln 5 – frac79ln 2.$

Bài toán thù 7: Tính tích phân hàm số phân thức hữu tỉ sau:a) $I = int_2^3 frac1xleft( x^2 – 1 ight) dx.$b) $I = int_3^4 fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight) dx.$c) $int_2^3 fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2) dx.$

a)Cách 1: (Pmùi hương pháp đồng hóa thức)Ta có: $f(x) = frac1xleft( x^2 – 1 ight)$ $ = frac1x(x – 1)(x + 1)$ $ = fracAx + fracBx – 1 + fracCx + 1$ $ = fracAleft( x^2 – 1 ight) + Bx(x + 1) + Cx(x – 1)x(x – 1)(x + 1).$Đồng độc nhất vô nhị hệ số nhì tử số bằng phương pháp nuốm các nghiệm: $x = 0$, $x = 1$ với $x = -1$ vào hai tử ta có:$left{ eginarray*20lx = 0 lớn 1 = – A\x = – 1 o lớn 1 = 2C\x = 1 o 1 = 2Bendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lA = – 1\B = frac12\C = frac12endarray ight.$ $ Rightarrow f(x) = – frac1x$ $ + frac12left( frac1x – 1 ight) + frac12left( frac1x + 1 ight).$Vậy $int_2^3 frac1xleft( x^2 – 1 ight) dx$ $ = int_2^3 left( frac12left( frac1x – 1 + frac1x + 1 ight) – frac1x ight) dx$ $ = left. left< x ight> ight|_2^3$ $ = frac52ln 2 – frac32ln 3.$Cách 2: (Phương pháp nhảy lầu)Ta có: $frac1xleft( x^2 – 1 ight)$ $ = fracx^2 – left( x^2 – 1 ight)xleft( x^2 – 1 ight)$ $ = fracxx^2 – 1 – frac1x$ $ = frac12frac2xx^2 – 1 – frac1x.$Do đó: $int_2^3 frac1xleft( x^2 – 1 ight) dx$ $ = frac12int_2^3 frac2xdxx^2 – 1 – int_2^3 frac1x dx$ $ = left. left( frac12ln left( x^2 – 1 ight) – ln x ight) ight|_2^3$ $ = frac52ln 2 – frac32ln 3.$b)Cách 1: (Phương pháp nhất quán thức)Ta có: $fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight)$ $ = fracx + 1x(x – 2)(x + 2)$ $ = fracAx + fracBx – 2 + fracCx + 2$ $ = fracAleft( x^2 – 4 ight) + Bx(x + 2) + Cx (x – 2)xleft( x^2 – 4 ight).$Ttốt các nghiệm của chủng loại số vào hai tử số:Khi $x = 0$, ta có: $1 = – 4A$, suy ra: $A = – frac14.$Khi $x = – 2$, ta có: $ – 1 = 8C$, suy ra: $C = – frac18.$Khi $x = 2$, ta có: $3 = 8B$, suy ra: $B = frac38.$Do đó: $f(x) = – frac14left( frac1x ight)$ $ – frac18left( frac1x – 2 ight) + frac38left( frac1x + 2 ight).$Vậy $int_3^4 fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight) dx$ $ = – frac14int_2^3 frac1x dx$ $ – frac18int_2^3 frac1x – 2 dx$ $ + frac38int_2^3 frac1x + 2 dx$ $= left. left( – frac14ln ight) ight|_2^3$ $ = frac58ln 3 – frac38ln 5 – frac14ln 2.$Cách 2: (Pmùi hương pháp dancing lầu)Ta có: $fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight)$ $ = frac1left( x^2 – 4 ight) + frac1xleft( x^2 – 4 ight)$ $ = frac14left( frac1x – 2 – frac1x + 2 ight)$ $ + frac14left( fracx^2 – left( x^2 – 4 ight)xleft( x^2 – 4 ight) ight)$ $ = frac14left( frac1x – 2 – frac1x + 2 + frac12frac2xx^2 – 4 – frac1x ight).$Do đó: $int_3^4 fracx + 1xleft( x^2 – 4 ight) $ $ = frac14int_3^4 left( frac1x – 2 – frac1x + 2 + frac12frac2xx^2 – 4 – frac1x ight) dx$ $= left. left< + frac12ln left( x^2 – 4 ight) – ln ight> ight|_3^4.$c)Cách 1: (Phương thơm pháp đồng điệu thức)Ta có: $fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2)$ $ = fracx^2(x – 1)(x + 1)(x + 2)$ $ = fracAx – 1 + fracBx + 1 + fracCx + 2$ $ = fracA(x + 1)(x + 2) + B(x – 1)(x + 2) + Cleft( x^2 – 1 ight)left( x^2 – 1 ight)(x + 2).$Ttốt lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số:Thay: $x = 1$, ta có: $1 = 2A$, suy ra: $A = frac12.$Thay: $x = – 1$, ta có: $1 = – 2B$, suy ra: $B = – frac12.$Thay: $x = – 2$, ta có: $4 = – 5C$, suy ra: $C = – frac54.$Do đó: $I = int_2^3 fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2) dx$ $ = int_2^3 left( frac12frac1x – 1 – frac12frac1x + 1 – frac54frac1x + 2 ight) dx$ $ = left. left< x + 2 ight> ight|_2^3$ $ = frac12ln frac32.$Cách 2: (Nhảy tầng lầu)$fracx^2left( x^2 – 1 ight)(x + 2)$ $ = fracx^2 – 1 + 1left( x^2 – 1 ight)(x + 2)$ $ = frac1x + 2 + frac1(x – 1)(x + 1)(x + 2)$ $ = frac1x + 2 + frac12fracx(x + 1) – (x – 1)(x + 2)(x – 1)(x + 1)(x + 2)$ $ = frac1x + 2 + frac12left< fracx(x – 1)(x + 2) – frac1x + 1 ight>$ $ = frac1x + 2 + frac12left< 1 + frac13left( frac1x – 1 – frac1x + 2 ight) – frac1x + 1 ight>.$Từ kia suy ra kết quả.


Chuyên mục: Kiến thức thú vị