Tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Phương pháp:+ Để ba số $a, b, c$ lập thành cung cấp số cộng, điều kiện là: $a + c = 2b$, bài tân oán được đưa về việc giải pmùi hương trình.+ Để bốn số $a, b, c, d$ lập thành cấp cho số cùng, ĐK là: $left{ eginarrayla + c = 2b\b + d = 2cendarray ight.$, bài tân oán được chuyển về bài toán giải hệ phương thơm trình.lấy ví dụ như 5. Tìm $x$ để bố số $x^2 + 1$, $x – 2$, $1 – 3x$ lập thành một cung cấp số cộng.

Bạn đang xem: Tìm m để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Để bố số $x^2 + 1$, $x – 2$, $1 – 3x$ lập thành một cung cấp số cộng, điều kiện là: $left( x^2 + 1 ight) + left( 1 – 3x ight)$ $ = 2left( x – 2 ight)$ $ Leftrightarrow x^2 – 5x + 6 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = 3.$Vậy: cùng với $x = 2$ hoặc $x = 3$ thì ba số $x^2 + 1$, $x – 2$, $1 – 3x$ lập thành một cấp số cùng.Bài toán: Tìm điều kiện của tyêu thích số sao cho pmùi hương trình bậc ba: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ $(*)$, cùng với $a ≠ 0$ gồm $3$ nghiệm $x_1, m x_2, m x_3$ lập thành cung cấp số cộng.Phương thơm pháp giải:Điều khiếu nại cần: Giả sử phương thơm trình $(*)$ gồm tía nghiệm sáng tỏ thành cung cấp số cùng, Lúc đó: $x_1 + x_3 = 2x_2.$Theo định lý Viet so với pmùi hương trình bậc ba, ta có: $x_1 + x_2 + x_3 = – fracba$ $ Leftrightarrow 3x_2 = – fracba$ $ Leftrightarrow x_2 = – fracb3a.$Với $x_2 = – fracb3a$, vậy vào phương trình $(*)$, ta được: $aleft( – fracb3a ight)^3 + bleft( – fracb3a ight)^2$ $ + cleft( – fracb3a ight) + d = 0$ $ Leftrightarrow 2b^3 – 9abc + 27a^2d = 0.$Đó chính là ĐK đề nghị nhằm phương trình $(*)$ bao gồm $3$ nghiệm lập thành cung cấp số cùng.Điều khiếu nại đủ: Từ $2b^3 – 9abc + 27a^2d = 0$, suy ra phương trình $(*)$ có nghiệm $x_2 = – fracb3a$. Lúc đó: $x_1 + x_2 + x_3 = – fracba$ $ Leftrightarrow x_1 + x_3 – fracb3a = frac – ba$ $ Leftrightarrow x_1 + x_3 = – frac2b3a m = 2x_2$ $ Leftrightarrow x_1, m x_2, m x_3$ lập thành cung cấp số cùng.Vậy, điều kiện buộc phải cùng đủ nhằm phương thơm trình bậc tía $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$, cùng với $a ≠ 0$ bao gồm $3$ nghiệm lập thành cung cấp số cộng là: $2b^3 – 9abc + 27a^2d = 0.$Với bài bác toán chỉ bao gồm một tsay đắm số, vào ĐK đủ ta rất có thể xác minh bằng Việc chỉ ra nghiệm rõ ràng của phương thơm trình, điều này siêu đặc biệt quan trọng vày ta còn bắt buộc khẳng định pmùi hương trình sẽ cho tất cả $3$ nghiệm rõ ràng.lấy ví dụ 6. Xác định tsi số $m$ nhằm phương thơm trình: $x^3 – 3x^2 – 9x + m = 0$ $(1)$ tất cả cha nghiệm phân khác hoàn toàn thành cấp số cộng.

Xem thêm: Nói Giảm Nói Tránh Là Gì ? Tác Dụng Của Nói Giảm Nói Tránh? Học “Nói Giảm Nói Tránh”

Điều kiện cần: Giả sử phương thơm trình có cha nghiệm tách biệt thành cấp cho số cùng, lúc đó: $x_1 + x_3 = 2x_2.$Ta có: $x_1 + x_2 + x_3 = 3$ $ Leftrightarrow 3x_2 = 3$ $ Leftrightarrow x_2 = m 1.$Với $x_2 = – 1$ nắm vào $(1)$ ta được: $11 – m = 0$ $ Leftrightarrow m = 11.$Đó chính là ĐK cần nhằm $(1)$ tất cả $3$ nghiệm lập thành cấp số cùng.Điều khiếu nại đủ: Với $m=11$, ta được: $x^3 – 3x^2 – 9x + 11 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylx_1 = 1 – sqrt 12 \x_2 = 1\x_3 = 1 + sqrt 12endarray ight.$, thoả nguyện ĐK $x_1 + x_3 = 2x_2.$Vậy: với $m=11$, pmùi hương trình: $x^3 – 3x^2 – 9x + m = 0$ bao gồm tía nghiệm phân khác biệt thành cấp số cộng.Bài toán thù bên trên có thể được giải bởi cách thức hằng số biến động, nlỗi sau:Pmùi hương trình $(1)$ gồm $3$ nghiệm phân biệt lập thành cấp số cùng khi và chỉ còn Lúc pmùi hương trình $(1)$ bao gồm bố nghiệm $x_0 – d$, $x_0$, $x_0 + d$ với $d ≠ 0.$Lúc đó: $x^3 – 3x^2 – 9x + m$ $ = m $$(x – x_0)$ $ = x^3 – 3x_0x^2$ $ + (3x_0^2 – d^2)x + d^2x_0 – x_0^3 $ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl– 3 = – 3x_0\– 9 = 3x_0^2 – d^2\m = – x_0^3 + d^2x_0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylx_0 = 1\d = pm 2sqrt 3 \m = 11endarray ight.$Vậy: với $m = 11$, phương thơm trình $(1)$ gồm tía nghiệm phân khác hoàn toàn thành cấp số cộng.Bài toán: Tìm điều kiện của tđắm say số nhằm phương thơm trình trùng pmùi hương $ax^4 + m bx^2 + c = 0$ $left( a e 0 ight)$ $(*)$ tất cả tứ nghiệm phân khác hoàn toàn thành cấp số cùng.

Xem thêm: Soạn Bài Tập Đọc: Câu Chuyện Bó Đũa Tiếng Việt Lớp 2, Soạn Bài Tập Đọc Câu Chuyện Bó Đũa

Phương pháp giải:Đặt $t = x^2$, điều kiện $t ge 0.$lúc đó, phương thơm trình $(*)$ được biến đổi về dạng: $at^2 + bt + c = 0$ $(1).$Pmùi hương trình $(*)$ có tư nghiệm sáng tỏ $⇔(1)$ có hai nghiệm riêng biệt dương $0 $ Leftrightarrow left{ eginarraylDelta’ > 0\– fracba > 0\fracca > 0endarray ight.$ $(2).$khi đó tứ nghiệm của $(*)$ là $ – sqrt t_2 $, $ – sqrt t_1 $, $sqrt t_1 $, $sqrt t_2 .$Bốn nghiệm bên trên lập thành cấp số cùng khi:$left{ eginarrayl– sqrt t_2 + sqrt t_1 = – 2sqrt t_1 \– sqrt t_1 + sqrt t_2 = 2sqrt t_1endarray ight.$ $ Leftrightarrow sqrt t_2 = 3sqrt t_1 $ $ Leftrightarrow t_2 = 9t_1$ $(3).$Theo định lí Viet ta có: $left{ eginarraylt_1 + t_2 = – fracba\t_1t_2 = fraccaendarray ight.$ $(4).$Txuất xắc $(3)$ vào $(4)$ được: $left{ eginarraylt_1 + 9t_1 = frac – ba\t_1.(9t_1) = fraccaendarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarraylt_1 = – fracb10a\t_1^2 = fracc9aendarray ight.$ $ Rightarrow left( – fracb10a ight)^2 = fracc9a$ $(5).$Kết vừa lòng $(5)$ và $(2)$ ta được điều kiện của tyêu thích số.Ví dụ 7. Cho phương trình: $x^4 – 2left( m + 1 ight)x^2 + 2m + 1 = 0$ $(*)$. Xác định $m$ nhằm pmùi hương trình bao gồm $4$ nghiệm phân biệt lập thành cấp cho số cùng.Đặt $t = x^2$, điều kiện $t ge 0.$Khi đó, pmùi hương trình $(*)$ được biến hóa về dạng: $t^2 – 2left( m + 1 ight)t + 2m + 1 = 0$ $(1).$Phương trình $(*)$ có tư nghiệm phân minh Lúc còn chỉ Khi phương thơm trình $(1)$ gồm nhì nghiệm phân minh dương $0 $ Leftrightarrow left{ eginarraylDelta’ > 0\frac – ba > 0\fracca > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl(m + 1)^2 – 2m – 1 > 0\2(m + 1) > 0\2m + 1 > 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac12 Lúc đó bốn nghiệm của $(*)$ là: $ – sqrt t_2 $, $ – sqrt t_1 $, $sqrt t_1 $, $sqrt t_2 .$Bốn nghiệm bên trên lập thành cung cấp số cộng khi: $left{ eginarrayl– sqrt t_2 + sqrt t_1 = – 2sqrt t_1 \– sqrt t_1 + sqrt t_2 = 2sqrt t_1endarray ight.$ $ Leftrightarrow sqrt t_2 = 3sqrt t_1 $ $ Leftrightarrow t_2 = 9t_1$ $(2).$Theo định lí Viet ta có: $left{ eginarraylt_1 + t_2 = 2(m + 1)\t_1t_2 = 2m + 1endarray ight.$ $(3).$Thay $(2)$ vào $(3)$ được: $left{ eginarraylt_1 + 9t_1 = 2(m + 1)\t_1.(9t_1) = 2m + 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarrayl5t_1 = m + 1\9t_1^2 = 2m + 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow 9m^2 – 32m – 16 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarraylm = 4\m = – frac49endarray ight.$Vậy: cùng với $m = 4$ hoặc $m = – frac49$ thì phương trình $(*)$ gồm $4$ nghiệm phân biệt lập thành cung cấp số cùng.

Chuyên mục: Kiến thức thú vị