Tứ giác ngoại tiếp đường tròn

     

1. Đường tròn đi qua toàn bộ những đỉnh của một đa giác Gọi là con đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác và đa giác Gọi là nội tiếp mặt đường tròn.

Bạn đang xem: Tứ giác ngoại tiếp đường tròn


Đường tròn xúc tiếp cùng với toàn bộ những cạnh của một đa giác Hotline là đường tròn nội tiếp nhiều giác cùng nhiều giác hotline là nước ngoài tiếp đường tròn.

Định lí. Bất kì nhiều giác số đông như thế nào cũng đều có một mặt đường tròn ngoại tiếp và một mặt đường tròn nội tiếp.

Tâm tầm thường của hai tuyến phố trồn này Điện thoại tư vấn là trung ương của đa giác phần đông.

2. Bổ sung : Tđọng giác ngoại tiếp.

Nếu cả bốn cạnh của một tứ đọng giác cùng xúc tiếp với cùng một mặt đường tròn thì tđọng giác kia điện thoại tư vấn là tứ đọng giác nước ngoài tiếp mặt đường tròn cùng con đường tròn đó Điện thoại tư vấn là con đường tròn nội tiếp tứ giác.

Định lí. Trong một tđọng giác nước ngoài tiếp, các tổng các cạnh đối thì đều bằng nhau.

Đảo lại, nếu như một tứ đọng giác bao gồm các tổng các cạnh đối bằng nhau thì tứ giác kia ngoại tiếp được một đường tròn.

ABCD ngoại tiếp AB + CD = AD + BC.

ví dụ như 31

Một tam giác phần nhiều, một hình vuông cùng một hình lục giác mọi thuộc nội tiếp mặt đường tròn (O ; R).

Tính độ nhiều năm từng cạnh của các hình bên trên theo R.

Chứng tỏ rằng bán kính của con đường tròn nội tiếp lục giác số đông bằng một ít cạnh của tam giác đầy đủ.

Giải

a) – Xét tam giác hồ hết ABC nội tiếp mặt đường tròn (O ; R). (h.a)

Kẻ mặt đường cao AH, ta bao gồm HC = Rsin

*
=
*
.

Do kia BC = 2HC = R

*
.

– Xét hình vuông vắn ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R). (h.b)

ΔBOC vuông cân bắt buộc BC =

*
.

– Xét lục giác những ABCDEF nội tiếp con đường tròn (O ; R). (h.c)

ΔBOC mọi yêu cầu BC = R.

b) Kẻ OH ⊥ DE (h.c), OH là nửa đường kính của mặt đường tròn nội tiếp lục giác phần đông.

Xem thêm: Áo Đỏ Em Đi Giữa Phố Đông - Về Bài Thơ Áo Đỏ Của Vũ Quần Phương

Ta có OH = OD sin

*
=
*
.

Cạnh của tam giác rất nhiều nội tiếp đường tròn (O ; R) bởi

*
, cho nên nửa đường kính của mặt đường tròn nội tiếp lục giác phần đông bằng nửa cạnh của tam giác phần đa.

lấy ví dụ 32

Chứng minc rằng diện tích của một hình thang vuông ngoại tiếp một mặt đường tròn bởi tích của nhì cạnh lòng.

Giải.

Xét hình thang ABCD nước ngoài tiếp con đường tròn (O), 

*
*
=
*
.

Cách 1.

Đặt CD = a, AB = b, BC = c, AD = d. 

Kẻ BH ⊥ CD.

Trong tam giác vuông BHC ta có

*
*
*
nên 
*
+
*
=
*
. (1)

Do ABCD là tứ đọng giác ngoại tiếp bắt buộc a + b = c + d, suy ra c = a + b – d,

vày đó 

*
=
*
. (2)

 

Vậy diện tích hình thang vuông nước ngoài tiếp một con đường tròn bởi tích của hai cạnh đáy.

Cách 2. 

Đặt AF = AE = DE = DH = OF = OE = OH = OG = r.

BF = BG = x, CG = CH = y. Ta có

 

Ta lại có OB, OC là tia phân giác của nhị góc kề bù phải OB ⊥ OC.

Do đó 

*
 = BG.GC Tức là
*
= xy. Suy ra AB.CD = 2
*
+ rx + ry. (2)

Từ (1) với (2) suy ra

*
= AB.CD.

BÀI TẬP

Đa giác nước ngoài tiếp, nhiều giác nội tiếp mặt đường tròn

136. Chứng minc rằng trong ngũ giác ABCDE, nếu như

*
=
*
*
=
*
thì 
*
=
*
.

137. Trong lục giác ABCDEF, những cạnh AB với DE, BC và EF, CD và FA tuy nhiên tuy vậy. Biết rằng các con đường chéo cánh AD, BE, CF cân nhau. Chứng minh rằng lục giác này rất có thể nội tiếp được vào một mặt đường tròn.

138. Trong tam giác KIM, hai đường phân giác KN với IP giảm nhau trên Q. Biết rằng PN = 1 centimet, đỉnh M ở trên đường tròn đi qua bố điểm N, Phường với Q. Tìm số đo những cạnh cùng các góc của tam giác PNQ.

139. Một nhiều giác nước ngoài tiếp một con đường tròn bán kính r được chia một bí quyết tuỳ ý thành các tam giác. Chứng minc rằng tổng những nửa đường kính của những mặt đường tròn nội tiếp các tam giác này lớn hơn r.

140. Chứng minch rằng nếu như ngũ giác ABCDE có năm cạnh cân nhau và có 

*
*
*
thì ABCDE là ngũ giác gần như.

141. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Chứng minch rằng

*
+
*
+
*
*
*
+
*
.

142. Cho lục giác ABCDEF nội tiếp mặt đường tròn (O). Chứng minch rằng nếu như AD, BE với CF cắt nhau tại một điểm thì AB.CD.EF = BC.DE.FA.

143. Hãy phân tách một lục giác hầu như thành tám phần tất cả diện tích cân nhau.

144. Cho hai nhiều giác mọi n cạnh 

*
và 
*
theo trang bị từ bỏ nội tiếp và ngoại tiếp cùng một con đường tròn nửa đường kính R. Gọi 
*
là nửa đường kính con đường tròn nội tiếp đa giác
*
*
là bán kính mặt đường tròn nước ngoài tiếp đa giác
*
. Chứng minch rằng
*
=
*
.
*
.

Tứ đọng giác nước ngoài tiếp con đường tròn

145. Cho một hình thang ngoại tiếp một con đường tròn. Chứng minch rằng những con đường tròn gồm 2 lần bán kính là các lân cận xúc tiếp nhau.

146. Một hình thang cân ABCD (AB // CD) ngoại tiếp một đường tròn nửa đường kính R. Tính tích AB.CD theo R.

147. Trong một hình thang, độ dài các đường chéo cánh bởi

*
cùng
*
, còn độ dài các đáy là 10 cùng 15. Tìm diện tích hình thang. Hình thang này rất có thể nội tiếp hoặc nước ngoài tiếp một mặt đường tròn ko ?

148*. Một mặt đường tròn xúc tiếp với nhì cạnh với hai tuyến đường trung tuýện của một tam giác. Chứng minch rằng tam giác này là tam giác cân nặng.


Chuyên mục: Kiến thức thú vị